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CONSTRUÇÕES DINÂMICAS PARA VISUALIZAÇÃO DE CONTEÚDOS RELATIVOS AO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL (nota)
CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:
axonometria ortogonal de um sólido compiosto por 3 cubos                
               

 

AXONOMETRIA ORTOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR TRÊS CUBOS

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um conjunto de três cubos justapostos, com diferentes dimensões, de acordo com os seguintes dados:

- O ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z é igual a 120º
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z é igual a 130º
- O cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados
- A face de menor afastamento do cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;
- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado y.
- o cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.

(adaptado dos exercícios 2, Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A de 2003 – 2ª fase e DGD-B de 1997 – 2ª fase)

Na proposta de resolução seguinte, o ângulo entre os eixos axonométricos z e y varia, entre 90º e 150º, de maneira a que facilmente se entenda como é que a variação do ângulo entre as projecções dos eixos coordenados determina diferentes representações axonométricas do mesmo objecto. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.


 

AXONOMETRIA ORTOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR DUAS PIRÂMIDES

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.

Sistema axonométrico:
– as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem, entre si, os seguintes ângulos:
(xÔz) = 120° (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z) - observaçºo:no original, este ângulo era de 110º
(yÔz) = 100° (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Sólido:
– o triângulo [ABV] é uma face lateral comum às duas pirâmides;
– os pontos A e B ficam situados no eixo y e têm, respectivamente, 2 e 6,5 de afastamento;
– o ponto V tem coordenadas positivas;
– a base [ABCD], de uma das pirâmides, pertence ao plano coordenado horizontal xy;
– a base [ABEF], da outra pirâmide, pertence ao plano coordenado yz.

Exame de 2007 - 1ª fase (Código 408)

Para a construção dinâmica seguinte, além da alteração do ângulo entre os eixos axonométricos x e z, foi ainda acrescentada a possibilidade de o ângulo entre os eixos axonométricos z e y variar entre 90º e 150º. Foram representadas, a traço interrompido, as linhas de construção que permitiram determinar o centro da base de cada uma das pirâmides, a partir dos quais foram desenhados o eixo de cada uma delas, perpendicular à base respectiva.
A intersecção entre estes dois eixos determina o vértice V, comum às duas pirâmides.

Na proposta de resolução seguinte, o ângulo entre os eixos axonométricos z e y varia, como antes se disse, para que se compreenda como é que diferentes posicionamentos dos eixos coordenados em relação ao plano axonométrico determinam a representação axonométrica do sólido. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DA SECCÃO DE UM CUBO

A construção seguinte corresponde a umarepresentação axonométrica ortogonal de um cubo com uma face em cada um dos planos coordenados, que é seccionado pelo plano que contém os pontos A (do primeiro triedro), B (do eixo y) e C (do eixo x). A medida da aresta do cubo e as coordenadas de cada um destes pontos estão assinaladas na construção, sendo a abcissa e o afastamento de A variáveis.

Em resultado da deslocação do ponto A, verificamos que a secção produzida nio cubo varia entre triangular, quadrangular, pentagonal ou hexagonal, consoante o número de faces do cubo que o plano secante intersecta.

 

Na construção seguinte, vemos a representação diédrica de um cubo seccionado por um plano de topo, donde poderemos concluir as situações em que a secção produzida tem a configuração triangular equilátera ou hexagonal:

(em construção)

A seguir se apresenta uma tabela de sistematização sobre as figuras de secção produzíveis no cubo (decorrentes das construções anteriores e ainda desta e desta construção): 

POLÍGONOS RESULTANTES
DE SECÇÕES NO CUBO

PROPRIEDADES DO PLANO SECANTE

Triângulo

Equilátero

Intersecta apenas três faces do cubo

Perpendicular a uma diagonal espacial do cubo

Isósceles

Paralelo a uma diagonal facial do cubo

Escaleno

Não perpendicular a nenhuma diagonal espacial nem a nenhuma diagonal facial

Quadrilátero

Trapézio
isósceles

Intersecta apenas quatro faces do cubo

Paralelo a uma diagonal facial

Trapézio
rectângulo

Não existe (excepto se consideramos o rectângulo como um caso particular de trapézio rectângulo)

Paralelogramo

Intersecta dois pares de faces opostas

Rectângulo

Paralelo a uma aresta

Quadrado

Sempre que o lado da secção tem a mesma dimensão da aresta do cubo

Losango

Intersecta duas arestas opostas do cubo e é paralelo a uma diagonal facial

Pentágono (não regular)

Intersecta apenas cinco faces do cubo

Hexágono

Não regular

Intersecta as seis faces do cubo

 

Regular

Perpendicular a uma diagonal espacial, contendo os pontos médios das arestas

Exemplos de links em que se podem encontrar construções dinâmicas que permitem que os alunos, de forma interactiva, visualizem e definam os diferentes tipos de secções produzíveis no cubo:
- http://www.mhhe.com/math/ltbmath/applets/ch9/
(apresenta uma aplicação particularmente interessante, que nos permite definir o plano secante a partir de três pontos situados nas arestas do cubo)
- http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session9/part_c/index.html
(apresenta uma aplicação que nos permite cortar um cubo com uma faca)
- http://www.scribd.com/doc/2534346/Seccoes-num-Cubo-por-um-Plano
- http://mat.absolutamente.net/ra_cubo1.html
http://www.prof2000.pt/users/amma/ce/matb/mod_i/sec_cub_todas.htm
http://matematica.com.sapo.pt/gsp.htm

Mais sobre as secções do cubo em:
Veloso, Eduardo “Tudo o que há num cubo...” - Revista “Educação e Matemática”, n.º 26, 2º trimestre de 1993
Dias, Paulo “Às voltas com noções e aptidões geométricas no cubo…” - Revista “Educação e Matemática”, Novembro-Dezembro de 2007

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DA SECCÃO RECTANGULAR DE UM CUBO

Nas construções seguintes, um cubo é seccionado por um plano paralelo a quatro das suas arestas, permitindo-nos compreender em que situações a secção produzida é rectangular ou quadrada. Na tabela seguinte, sintetizam-se as situações em que a secção produzida num cubo é quadrangular:

Um cubo de faces paralelas aos planos coordenados e com centro no ponto C, situado no espaço do primeiro triedro, está aqui representado em trimetria (o ângulo entre a projecção dos eixos coordenados x e z é de 120º, enquanto que entre a projecção dos eixos coordenados x e y é igual a 130º).
Além do cubo, foi incluido um plano alfa, perpendicular ao plano coordenado lateral, que secciona o cubo e nele produz uma figura de secção quadrilateral.
A posição do plano vai variando entre frontal, de rampa e horizontal de (cota nula).
Os pontos de secção foram determinados no rebatimento da projecção auxiliar lateral (corte lateral), dado que este plano secante é projectante em relação ao plano coordenado lateral.
A figura de secção foi preenchida com uma mancha vermelha para melhor compreensão da sua configuração, razão pela qual se optou por considerar, propositadamente, que as faces do cubo são como que transparentes, permitindo-nos ver a totalidade da figura de secção produzida.

 

Na construção seguinte, a verdadeira grandeza da secção produzida no cubo foi determinada através do rebatimento do plano secante sobre o plano coordenado lateral, considerando-se o traço lateral do plano como charneira (este procedimento foi executado no rebatimento da projecção auxiliar lateral):

 

Se modificarmos a posição do plano secante, mantendo-o sempre perpendicular a um dos planos coordenados, poderemos concluir que, sempre que o plano secante é perpendicular a duas faces do cubo, a secção produzida será sempre quadrilateral, podendo, inclusive, ser equilátera (o que acontece por duas vezes neste desenho: quando a dimensão do segmento de recta correspondente à secção produzida no corte lateral é igual (em verdadeira grandeza, claro) à medida da aresta do cubo).

 

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DA SECCÃO TRIANGULAR DE UM CUBO

A construção seguinte permite-nos compreender em que situações a secção produzida num cubo é triangular, situações que se sintetizaram na tabela seguinte:

Na primeira construção, a secção produzida tanto é escalena como isósceles (na situação em que o lado de maior abcissa da secção é paralelo à diagonal da face a que pertence. Nas restantes situações, os lados da secção têm dimensões diferentes.

 

Nesta segunda construção, a secção é isósceles, uma vez que um dos seus lados é paralelo à diagonal da face a que pertence:

 

NOTA

Para facilitar a visualização e compreensão destas construções, optei por representar:
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Frontal com a cor castanha-amarelada (ocre)
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Horizontal com a cor azul (turquesa claro)
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Lateral com a cor verde.
- a representação axonométrica dos eixos coordenados e de pontos, rectas, segmentos de recta, figuras e sólidos com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.


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