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REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Os enunciados apresentados são exercícios de aplicação do conteúdo assinalado no título respectivo.
Todos os ângulos relativos a rectas e planos são medidos no primeiro diedro.
As coordenadas estão expressas em centímetros e são indicadas pela seguinte ordem: (abcissa; afastamento; cota).

Nas soluções executadas com o software "The Geometer's Sketchpad", "C.a.R." e "C.a.R.Metal", a notação "=" significa "é coincidente com" (por exemplo: "h beta=ch", significa que o traço horizontal do oplano beta é coincidente com a cherneira do rebatimento).
As soluções apresentadas são, dos muitos métodos passíveis de serem utilizados, um dos exemplos possíveis para a resolução do exercício.
As medidas marcadas, em cada desenho, não correspondem exactamente às medidas dadas. Os desenhos foram, no entanto, realizados numa escala proporcional à real.

LISTAGEM DOS EXERCÍCIOS DESTA PÁGINA POR CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS ABORDADOS:

PONTOS, SEGMENTO DE RECTA, RECTA E TRAÇOS DA RECTA - exercícios D-R1 a D-R12

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO - exercícios D-P1 a D-P30

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO DE RAMPA - exercícios D-P30 a D-P32

INTERSECÇÃO DE PLANOS - exercícios D-IP1 a D-IP24

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO - exercícios D-IR1 a D-IR16

FIGURAS PLANAS PARALELAS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO - exercícios D-FHF1 a D-FHF2

SÓLIDOS DE BASE(S) HORIZONTAL(AIS) - exercícios S-H1 a S-H15

SÓLIDOS DE BASE(S) FRONTAL(AIS) - exercícios D-SF1 a D-SF14

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO VERTICAL - exercícios D-FV1 a D-FV11

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE TOPO - exercícios D-FT1 a D-FT11

PONTOS, RECTAS E FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE PERFIL - exercícios D-FP1 a D-FP8

SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) VERTICAL(AIS) - exercício D-SV1 a D-SV3

SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) DE TOPO - exercício D-ST1 a D-ST2

SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) DE PERFIL - exercício D-SP1 a D-SP5

PARALELISMO DE RECTAS E PLANOS - exercícios D-PL1 a D-PL10

PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS - exercícios D-PP1 a D-PP8

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO - exercícios D-FO1 a D-FO8

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE RAMPA - exercícios D-FR1 a D-FR4

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO PASSANTE - exercícios D-FP1 a D-FP3

SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) OBLÍQUO(S) - exercícios D-SO1 a D-SO5

SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) DE RAMPA - exercício D-SR1

SÓLIDOS DE BASE SITUADA NUM PLANO PASSANTE - exercícios D-SP1

PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS - exercícios D-D1 a D-D7

PROBLEMAS MÉTRICOS - ÂNGULOS - exercícios D-A1 a D-A12

SOMBRA PRÓPRIA E PROJECTADA DE FIGURAS PLANAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO - exercícios D-SF1 a D-SF4

SOMBRAS PRÓPRIA E PROJECTADA DE PIRÂMIDES SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO - exercícios D-SS1 a D-SS6

SOMBRAS PRÓPRIA E PROJECTADA DE PRISMAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO - exercícios D-SS6 a D-SS9

SOMBRAS PRÓPRIA E PROJECTADA DE CONES SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO - exercícios D-SS9 a D-SS12

SOMBRAS PRÓPRIA E PROJECTADA DE CILINDROS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO - exercícios D-SS13 a D-SS14

SECÇÕES PRODUZIDAS EM PIRÂMIDES - exercícios D-SC1 a D-SC6

SECÇÕES PRODUZIDAS EM PRISMAS - exercício D-SC7 a D-CS9

SECÇÕES PRODUZIDAS EM CONES - exercício D-SC10 a D-CS12

SECÇÕES PRODUZIDAS EM CILINDROS - exercício D-SC13

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS, SEGMENTO DE RECTA, RECTA E TRAÇOS DA RECTA

Para os alunos do 10º ano de escolaridade de Geometria Descritiva A, os seguintes exercícios poderão ser úteis para praticar a determinação das projecções de recta(s) e de pontos pertencentes a rectas. Não são exercícios de teste de avaliação, pertencem a uma Ficha de Trabalho.

D-R1.

Determina os pontos notáveis de uma recta a, sabendo que:

- contém o ponto A (-4; -2,5)
- as suas projecções horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30ª (a.p.d.) e 45º (a.p.d.)

a) Determina as projecções de um ponto G, do terceiro diedro, pertencente à recta.


 

D-R2.

Determina as projecções de uma recta a, sabendo que:

- as suas projecções são oblíquas em relação ao eixo x, com ângulos à escolha, mas ambas com abertura para a esquerda
- a recta contém um ponto A, do primeiro Diedro

a) Determina as projecções de um ponto P, do terceiro diedro, não pertencente à recta.

b) Desenha uma recta b, paralela à recta a, contendo o ponto P

c) Desenha ainda uma recta c, contendo o ponto P e concorrente com a recta a.



D-R3.

Determina as projecções de uma recta a, sabendo que:

- Contém os pontos C (-2,5;0,5) e D (1;5,5)
- Co dista de Do 3cm, estando D à direita de C.

a) Determina os traços da recta a nos planos de projecção.

b) Determina as projecções de um ponto K, do segundo Diedro, pertencente à recta a.



D-R4.

Considera a recta m, definida por A (-3; 4; 1) e por B (4; 1; 5).

a) Determina os traços da recta nos planos de projecção.

b) Determina ainda o traço da recta no plano bissector dos diedros ímpares.

c) Indica as coordenadas de cada um dos pontos determinados.



D-R5.

Determina as projecções da recta m, sabendo que contém o ponto P (-2; 5; 2) e que o seu traço horizontal tem 3 cm de abcissa e 2 cm de afastamento.

a) Determina o ponto da recta com afastamento nulo.

b) Como se chama o ponto que determinaste na alínea anterior?

c) Determina ainda o traço da recta no plano bissector dos diedros pares.



D-R6.

Desenha as projecções de uma recta a, sabendo que é definida por:

- o seu traço frontal, que tem 2 cm de abcissa e 3 cm de cota.
- o seu traço no plano bissector dos diedros pares, que tem 3 cm de abcissa negativa e 2 de cota negativa.

a) Determina o ponto de intersecção da recta com o Plano Horizontal de Projecção.

b) Determina o ponto de intersecção da recta com o plano bissector dos diedros ímpares.


D-R7.

Determina as projecções de uma recta a, sabendo que:

- Contém um ponto A do primeiro Diedro e do beta 13
- A sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º (a.p.d.)
- A sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 50º (a.p.d.).

a) Determina os traços da recta nos planos de projecção.

 

 

D-R8.

Determina as projecções de uma recta b, sabendo que:
- Contém um ponto B, do Semiplano Frontal Inferior
- As suas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, respectivamente, ângulos de 30º (a.p.d.) e 45º (a.p.d.)

a) Determina os traços da recta nos planos bissectores


 

D-R9.

Determina as projecções de uma recta r, sabendo que:

- Contém um ponto A do terceiro octante
. A sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º (a.p.d.)
- A sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.p.e.).

a) Determina os pontos notáveis da recta.


 

D-R10.

Determina as projecções de uma recta r, sabendo que:

- contém o ponto A (2,5; 2)
- a projecção frontal da recta faz um ângulo de 30º, com o eixo x (a.p.e.)
- a projecção horizontal da recta faz um ângulo de 60º com o eixo x (a.p.e.)

a) Determina os traços da recta nos planos bissectores.


 

D-R11.

Determina as projecções de uma recta a, sabendo que:
- Contém o ponto P (0; 2,5; -6)
- As projecções horizontal e frontal da recta fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 45º (a.p.e.) e 45º (a.p.e.).

a) Determina as projecções de uma recta b, paralela à recta a, passando por um ponto R, qualquer, do 2º Octante, com abcissa positiva.

b) Desenha as projecções de uma recta s concorrente com as rectas a e b, respectivamente, nos pontos A e B (não coincidentes com P ou com R).


 

 

D-R12.

Determina as projecções de uma recta p, sabendo que:

- Contém o ponto A (-1,5; 3)
- As projecções horizontal e frontal da recta fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º e 50º, ambos com abertura para a direita.

a) Determina os pontos notáveis da recta p.

b) Determina o percurso da recta p

c) Desenha as projecções de uma recta r, sabendo que:

- É paralela à recta p
- Contém o ponto G (não pertencente à recta p), do beta 13, situado à direita do ponto A

d) Determina ainda as projecções de uma recta m, sabendo que:

- É concorrente com a recta p no ponto P
- É concorrente com a recta r no ponto R.

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS E DE RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

No seguimento do que foi explicado aqui e também aqui, sobre as condições de pertença de uma recta a um plano e de um ponto a um plano, podem ser já resolvidos alguns exercícios sobre o assunto (do D-P1 a D-P7).
Salienta-se que, para este tipo de exercícios (que envolvem planos oblíquos), quando nos são pedidas as projecções de um ponto pertencente ao plano com uma dada cota ou afastamento, devemos determinar as projecções de uma recta pertencente ao plano que tenha sempre a mesma cota (recta horizontal) ou sempre o mesmo afastamento (recta frontal), não esquecendo que, para que a mesma pertença ao plano, deverá conter dois pontos do plano.

Entre 1996 e 2006, existiu uma disciplina chamada Desenho e Geometria Descritiva B (códigos 109 e 409), cujo Exame Nacional tinha um primeiro exercício em que era pedida a representação de pontos e rectas pertencentes a planos (oblíquos ou de rampa) ou a determinação dos seus traços (que são também, claro, rectas do plano, mas pertencentes também a um dos Planos de Projecção).
Vinte e três dos exercícios de exame nacional seguintes referem-se exclusivamente ao Plano Oblíquo, e apenas dois ao Plano de Rampa.
Estes exercícios são particularmente úteis para os alunos do 10º ano de Geometria Descritiva e para todos aqueles que, no 11º ou 12º ano, pretendem preparar-se para o Exame Nacional.
Podem consultar os enunciados dos exames nacionais aqui - tendo, porém, em atenção que alguma da terminologia utilizada no exame de código 109 não era a mesma de agora, por exemplo: o eixo x chamava-se Linha de Terra, o Plano Frontal de Projecção chamava-se Plano Vertical de Projecção, os Diedros chamavam-se Quadrantes, o traço frontal chamava-se traço vertical, a recta horizontal chamava-se recta de nível e a recta frontal chamava-se recta de frente. Para além disso, as abcissas positivas marcavam-se para a direita do plano referencial das abcissas e não para a esquerda, como actualmente). Contudo, os enunciados seguintes já foram alterados para a terminologia actual.
Aqui também poderá consultar estes e outros enunciados de exercícios de Exame nacional desta disciplina.


D-P1.

Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (0; 5; 4)
- A recta p é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º, com abertura para a direita, com o eixo x
- A recta q é oblíqua
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 30º e 45º ambos com abertura para a esquerda
a) Considerando que as recta p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h, pertencente a esse plano, com 5,5cm de cota.
b) Determina ainda as projecções do ponto A pertencente ao plano, sabendo que tem 8,5cm de afastamento e 5,5cm de cota.


D-P2.

Um plano é definido por um ponto A e uma recta b, sendo:
- A (-3; 1; 4,5)
- A recta b é oblíqua e paralela ao bissector dos diedros pares
- A recta b contém o ponto B (4; 6,5; 6)
- A projecção frontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos Y e Z, pertencentes ao plano, sabendo que têm 3cm de cota e que pertencem, respectivamente, ao beta 13 e ao beta 24.

Observação:

Se o plano for definido por uma recta e um ponto exterior, há que desenhar outra recta do plano, passando pelo ponto dado, de modo a ser paralela ou concorrente com a recta dada (neste caso, desenhou-se uma paralela). Dado que ambos os pontos pedidos têm a mesma cota, será mais simples resolver este exercício desenhando uma recta horizontal com a cota dos mesmos, sempre de modo a pertencer ao plano (contendo os pontos P e R, pertencentes a rectas do plano).

 

 

D-P3.

Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano oblíquo beta com o eixo x.

- o plano oblíquo beta é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)

Exame Nacional de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

 

Obesrvação:

a partir dos pontos dados, desenhamos duas rectas paralelas ou concorrentes (neste caso, optou-se por rectas concorrentes em C) e, unindo os seus traços frontais e horizontais (homonimamente), obtemos os traços frontal e horizontal do plano e, consequentemente, as projecções do ponto N pedido.

O enunciado deveria ter pedido as projecções do ponto N e não o ponto N, dado que, em épura, determinamos apenas as projecções dos elementos considerados e não os próprios elementos (mesmo quando estes coincidem com as suas projecções, como é o caso do ponto N)

 

 

D-P4.

Determina os traços de um plano alfa, definido por duas rectas concorrentes p e q, sabendo que:
- O ponto de concorrência é o ponto P (0; 2; 2)
- A recta p é oblíqua e paralela ao b24
- A projecção frontal da recta p faz com o eixo x um ângulo de 60º, com abertura para a esquerda
- As projecções frontal e horizontal da recta q fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 40º e 20º ambos com abertura para a direita
a) Determina as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo que:
- o ponto A pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 8cm de cota
- o ponto B situa-se 8cm à esquerda do plano referencial das abcissas e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
b) Unindo os pontos A e B, o que é que obtemos?

Resposta: Obtemos uma recta pertencente ao plano, porque contém dois pontos do plano (A e B). Na proposta de resolução apresentada, a recta r foi definida unindo os pontos A e B:

 

 

 

D-P5.

Considera um plano beta definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º (a.p.e.) e 60º (a.p.e.)
- O plano intersecta o eixo x na origem das coordenadas.
a) Determina as projecções de um ponto I, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros pares (mas não pertencente ao eixo x).

 

Observação:

Para que o ponto I pertença ao plano, deverá pertencer a uma recta do plano, razão pela qual determinamos as projecções de uma recta oblíqua r, qualquer, cujos traços frontal e horizontal pertencem, respectivamente, aos traços frontal e horizontal do plano. Basta que o ponto I seja um ponto de projecções coincidentes pertencente à recta r para pertencer ao plano e ao bissector dos diedros pares.

 

 

DP-6.

Considera um plano delta, definido pelos seus traços, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano fazem, com o eixo x, ângulos de 60º (o frontal com abertura para a direita e o horizontal com abert. para a esquerda)
- O plano intersecta o eixo x no ponto X, com 2cm de abcissa negativa
a) Determina as projecções da recta obliqua o, pertencente ao plano, sabendo que:
- a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- o traço horizontal desta recta tem 1cm de abcissa
b) Determina ainda as projecções de um ponto A, pertencente ao plano e ao plano bissector dos diedros ímpares.

 

 

 

D-P7.

Considera um plano definido por duas rectas concorrentes a e b, sabendo que:

- O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto P (2; 3,5)
- A recta a é oblíqua
- As projecções horizontal e frontal da recta a fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º e 45º, ambos com abertura para a esquerda
- A recta b é oblíqua e paralela ao beta 13
- A projecção horizontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 60º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções de uma recta h horizontal, com 5cm de cota, pertencente ao plano.

 

D-P8.

Determine as projecções de uma recta horizontal (de nível) n pertencente a um plano oblíquo alfa

- O plano alfa contém uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (-7; 5; 6) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção;
- O plano intersecta o eixo x num ponto X, com abcissa 4;
- A recta horizontal tem 2 de cota.

Exame Nacional de 1997 1ª Fase – 2ª Chamada (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

D-P9.

Determine os traços, nos Planos de Projecção, de um plano oblíquo alfa, definido por um ponto A e por uma recta de perfil p.

- A (4; 2; 8)
- A Recta de perfil p contém os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2)

Exame Nacional de 1997- 2ª Fase (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

D-P10.

Determine as projecções de uma recta frontal f contida num plano oblíquo beta:

- O plano oblíquo beta contém o ponto P (-6; 1; -6) e uma recta horizontal (de nível) n;
- A recta horizontal faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º, de abertura para a direita, intersectando-o no ponto V, com abcissa nula e 4 de cota;
- A recta frontal (de frente) f tem 3 de afastamento.

Exame Nacional de 1998 1ª Fase – 1ª Chamada (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

D-P11.

Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo alfa que contém as duas rectas r e s.

- As rectas são concorrentes no ponto Q, de abcissa nula, pertencente ao eixo x;
- A recta r contém o ponto R (-2; -2; 2);
- A recta s contém o ponto S (-9; 3; 3).

Exame Nacional de 1999 Prova Modelo (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

D-P12.

Determine as projecções do ponto P contido no plano oblíquo beta.

- O plano oblíquo beta é definido por um ponto X e pela recta horizontal (de nível) h;
- O ponto X pertence ao eixo x e tem -2 de abcissa;
- A recta horizontal (de nível) n contém o ponto A (0; 4; 6) e faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º, de abertura para a direita;
- O ponto P tem 6 de afastamento e 3 de cota

Exame Nacional de 2000 1ª Fase – 2ª Chamada (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

D-P13.

Determine as projecções da recta horizontal (de nível) n do plano oblíquo alfa

- o plano oblíquo alfa contém uma recta r;
- a recta r é definida pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo ponto B, com -4 de abcissa, 4 de cota e pertencente ao Plano Bissector dos Diedros Pares;
- o traço frontal do plano alfa faz, com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda;
- a recta horizontal (de nível) n contém o ponto A.

Exame Nacional de 2001 1ª Fase – 1ª Chamada (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

D-P14.

Determine o ponto Q, pertencente ao plano oblíquo beta.

- o plano oblíquo beta é definido pelo ponto X, do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma recta horizontal (de nível) n;
- a recta n contém o ponto A (-2; 4; 3) e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, com abertura para a direita;
- o ponto Q pertence ao Bissector dos Diedros Ímpares e tem 6 de cota

Exame Nacional de 2001 2ª fase (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

D-P16.

Determine as projecções da recta n, contida no plano oblíquo alfa.

- o plano alfa é definido pelo ponto A (6; 2; 7) e pela recta r;
- a recta r contém os pontos B (0; 5; -5) e C (-4; -4; 4);
- a recta n é horizontal e é concorrente com a recta r no ponto C.

Exame Nacional de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 


D-P17.

Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo alfa.

- o plano oblíquo alfa é definido por três pontos, A, B e C
- os pontos A e B pertencem ao bissector dos diedros ímpares
- A tem 4 de abcissa e 4 de afastamento
- B tem abcissa nula e - 4 de cota
- o ponto C pertence ao bissector dos diedros pares e tem -4 de abcissa e 4 de cota.

Exame Nacional de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (Programa em vigor de 1996 a 2003)

 

 

DP-18.

Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano oblíquo beta com o eixo x.
- o plano oblíquo beta é definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)

Exame de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 


D-P19.

Determine as projecções do ponto I do plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo traço horizontal do plano beta;
- o traço horizontal de beta faz um Ângulo de 45º (com abertura para a direita) com o eixo x, intersectando-o num ponto X, com -7 de abcissa;
- o ponto I pertence ao bissector dos diedros pares e tem -2 de abcissa.

Exame Nacional de 2002 2ª fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

 

D-P20.

Determine as projecções do ponto I, pertencente ao plano oblíquo alfa

- o plano alfa é definido pela recta de frente f e pelo ponto X (-5; 0; 0);
- a recta f contém o ponto A (5; -8; 4) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção;
- o ponto I tem -2 de afastamento e 2 de cota.

Adaptado do Exame Nacional de 2002 2ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)


Observação:

Para definir o ponto I, podemos desenhar uma recta frontal g, pertencente ao plano, com 2 de afastamento negativo (a projecção horizontal do seu traço horizontal (H1g) deverá pertencer a h alfa; g2 deverá ser paralelo a f alfa). O traço horizontal do plano alfa é definido unindo o ponto X1 com H1f. O ponto I deverá pertencer à recta g e ter as projecções coincidentes.

 


D-P21.

Determine as projecções do ponto Q, contido no plano oblíquo beta

- o plano beta contém a recta r, definida pelos pontos H (5; -4; 0) e P (0; 1; 2);
- o traço frontal do plano beta faz um ângulo de 60° (de abertura para a direita) com o eixo x;
- o ponto Q é um ponto do plano bissector dos diedros impares, com 5 de cota

Exame Nacional de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

 

 

D-P22.

Determine as projecções da recta r, contida no plano oblíquo alfa.

- os traços do plano alfa intersectam-se num ponto com -4 de abcissa e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda
- a recta r contém o ponto R, com 3 de afastamento e 4 de cota;
- a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a direita).

Exame Nacional de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (Programa em vigor de 1996 a 2003)


 

 

D-P23.

Determine os traços do plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pela recta frontal f e pelo ponto A (-3; 2; 3);
- a recta f contém o ponto B (-7; 5; -5), e a sua projecção frontal, f2, faz um Ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a esquerda

Exame Nacional de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

Observação:

a partir do ponto A, devemos desenhar uma recta paralela ou concorrente com a recta f (neste caso, optou-se por uma paralela), após o qual se podem definir os traços do plano pedido

 

 

D-P24.

Determine as projecções da recta d, contida no plano oblíquo beta.

- O plano oblíquo beta contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
- O traço frontal do plano beta faz um Ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
- A recta d contém o ponto P (-6; 3; 4) e é uma das rectas de maior declive do plano beta.

Exame Nacional de 2003 2ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

 

D-P25.

Determine os traços do plano oblíquo alfa.

- o plano alfa contém as rectas r e s, concorrentes no ponto N (7; 0; 0)
- a recta r contém o ponto R (0; 3; 4)
- o ponto S (0; 6; 2) pertence à recta s.

Exame Nacional de 2004 - 1ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 


Observação:

os traços das duas rectas passantes não são suficientes para conseguirmos determinar os traços do plano oblíquo que as contém, razão pela qual se deve definir uma outra recta do plano - neste caso, optou-se por desenhar uma recta horizontal h, que contém dois pontos do plano. O traço frontal desta recta e a particularidade de a sua projecção horizontal ser paralela ao traço horizontal do plano permitiram-nos definir depois os traços do plano pedidos.

 


D-P26.

Determine as projecções da recta horizontal r, contida no plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pelos pontos F (3; 0; 5), H (3; 2; 0) e P;
- o ponto P tem abcissa nula, 3 de cota e pertence ao bissector dos diedros ímpares
- a recta r intersecta o plano frontal de projecção num ponto, F, com 2 de abcissa.

Exame Nacional de 2004 - 2ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

Observação:

unindo H com P, obtemos uma recta b, oblíqua, cujo traço frontal nos permite determinar f alfa e a seguir h alfa. A recta horizontal será então definida a partir do seu traço frontal, com a abcissa dada e pertencente ao traço frontal do plano.

 


D-P27.

Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo alfa

- o plano alfa contém o ponto A (-2; 5; 8) e o ponto B, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, com 4 de abcissa e 3 de cota;
- o traço frontal do plano alfa faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a esquerda);
- o ponto P pertence ao plano horizontal de projecção e tem 3 de afastamento

Exame Nacional de 2005 1ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

 

 

D-P28.

Determine as projecções da recta a, contida no plano oblíquo beta.

- o plano beta contém o ponto P (-3; -4; 5);
- o traço horizontal do plano beta faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a esquerda) e intersecta o mesmo eixo num ponto com - 6 de abcissa;
- o traço horizontal da recta a tem 6 de afastamento, e o traço frontal tem 7 de cota.

Exame Nacional de 2005 - 2ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

 

 

D-P29.

Determine as projecções da recta frontal f, contida no plano oblíquo alfa.

- o plano alfa contém a recta horizontal h e o ponto A, com - 4 de abcissa e 7 de cota, pertencente ao plano frontal de projecção;
- a recta h contém o ponto B (-2; 1; 3), e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a direita);
- o traço horizontal, H, da recta frontal f tem 6 de abcissa.

Exame Nacional de 2006 - 1ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

 

 

D-P30.

Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo beta.

- O plano beta contém a recta frontal f;
- A recta f contém o ponto A, com 2 de abcissa e 3 de afastamento, pertencente ao plano bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta f faz um Ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a esquerda);
- Os traços do plano beta intersectam-se num ponto com – 4 de abcissa;
- O ponto P tem 5 de cota e pertence ao plano bissector dos diedros pares

Exame Nacional de 2006 2ª Fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO DE RAMPA

 

D-P31.

Determine os traços, nos Planos de projecção, do Plano de rampa ró, que contém a recta oblíqua r.

A recta r passa pelo ponto A (5; 2; 12)
A projecção horizontal da recta faz um ângulo de 45º com o eixo x, com abertura para a esquerda;
A recta r intersecta o Plano Bissector dos Diedros Ímpares no ponto Q, do Terceiro Diedro, com cota –8.

Exame de 1998 - Prova Modelo (DGD-B)

 


D-P32.

Represente, pelas suas projecções, a recta oblíqua r, contida no plano de rampa alfa.

O plano de rampa alfa contém o ponto P (6; 3; 4) e o seu traço horizontal tem 9 de afastamento;
O traço frontal da recta r tem abcissa -4;
A projecção horizontal da recta r faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura para a direita.

Exame de 1999 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

 

INTERSECÇÃO DE PLANOS (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

No primeiro exercício do exame nacional da "antiga" disciplina de Desenho e Geometria Descritiva B (código 109), pedia-se a determinação de pontos e/ou rectas pertencentes ao plano oblíquo ou ao plano de rampa (ver exercícios D-P1 a D-P31) ou então a determinação da intersecção entre dois planos ou entre uma recta e um plano.
No segundo exercício do exame de código 409, era pedida a resolução de problemas exclusivamente relacionados com Intersecções.
No actual exame de Geometria Descritiva A (código 708), este conteúdo pode ser pedido no exercício I.

Entre os exercícios D-IP13 e D-IP24, listam-se todos os exercícios sobre Intersecções que já saíram nos exames nacionais da disciplina. Além de serem importantes para outros conteúdos do ano terminal da disciplina, as Intersecções podem vir a ser objecto de exame num exercício do actual exame de GD-A (código 708).

D-IP1.

Determina a recta de intersecção i, entre um plano de perfil pí, de abcissa nula e um plano de topo beta definido por A (4; 5; -2) e B (-5; 3; 6).

 

D-IP2.

Determina a recta de intersecção i, entre um plano de perfil pí que contém o ponto B (2; 5; 3) e um plano paralelo ao Plano Frontal de Projecção que contém o ponto A (-3; 4; 2).

 

D-IP3.

Determina a recta de intersecção i, entre um plano de topo b (a 60º com abertura para a direita com o eixo x) e um plano frontal alfa  com 4 cm de afastamento.

 

D-IP4.

Determina a recta de intersecção i, entre um plano de topo b (a 45º com abertura para a esquerda com o eixo x, contendo a origem das coordenadas) e um plano horizontal niú que contém o ponto A (4; 3; 3).

 

D-IP5.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos projectantes frontais alfa e beta, sabendo que:
- O plano alfa contém o ponto A (5; 4; 0) e faz um ângulo de 30º (a.p.e.) com o P.H.P.
- O plano beta contém os pontos B (0; 5; 0) e C (-5; -5; 5)

 

D-IP6.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos alfa e beta, sabendo que:
- O plano alfa é de topo, intersecta o eixo x num ponto com 5 de abcissa e faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o P.H.P.
- O plano beta é um plano oblíquo e perpendicular ao b13
- O plano beta contém os pontos X (0; 0; 0) e A (-5; 0; 5)

 

D-IP7.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos alfa e teta, sabendo que:
- O plano alfa é vertical, contém o ponto A (0; 3; 3) e faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o P.F.P.
- O plano teta é de rampa, definido pela recta de perfil p com 5cm de abcissa negativa, cujos traços frontal e horizontal têm, respectivamente, 6 cm de cota e 7 cm de afastamento


D-IP8.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos alfa e beta, sabendo que:
- O plano alfa é de perfil e contém o ponto P (0; 3; 5)
- O plano beta  é de rampa e contém o ponto P (3; 1)
- o traço horizontal do plano beta  tem 5 cm de afastamento

 

D-IP9.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos oblíquos alfa e beta, sabendo que:
- O plano alfa intersecta o eixo x na origem das coordenadas
- Os traços frontal e horizontal do plano alfa fazem, respectivamente, com o eixo x, ângulos iguais a 80º e 75º, ambos com abertura para a direita
- O plano beta contém uma recta s, definida pelos pontos H (-11; 3; 0) e A (-9; 3; 2)
- O traço horizontal do plano beta faz um ângulo de 70º (a.p.e.) com o eixo x

 

D-IP10.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos de rampa, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano teta têm, respectivamente, 7 cm de cota e 7 cm de afastamento
- Os traços frontal e horizontal do plano pí têm, respectivamente, 4 cm de cota e 1,5 cm de afastamento

 

D-IP11.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos de rampa, sabendo que:
- Os traços frontal e horizontal do plano teta têm, respectivamente, 7 cm de cota e 7 cm de afastamento
- O plano beta  contém o ponto P (3; 1), e o seu traço horizontal tem 5 cm de afastamento

 

D-IP12.

Determina a recta de intersecção i, entre dois planos de rampa, sabendo que:
- O traço frontal do plano alfa tem 3 cm de cota
- O plano alfa contém o ponto P (3; 1,5)
- o plano beta é perpendicular ao bissector dos diedros ímpares, distando o seu traço horizontal 4cm do eixo x


D-IP13.

Determine as projecções da recta i de intersecção de um plano de rampa alfa com um plano horizontal (de nível) niú.

- o traço frontal do plano de rampa alfa tem cota 8
- o plano de rampa alfa contém a ponto A (3; 3; 4)
- o plano horizontal (de nível) niú contém o ponto B (O; 9; 6).

Exame de 1997 Prova Modelo (DGD-B)

 

D-IP14.

Determine a recta de intersecção i dos planos de rampa alfa e beta

- o traço horizontal do plano alfa tem 4 de afastamento, e o seu traço frontal tem 5 de cota;
- o plano beta é definido pelo seu traço horizontal, que tem 6 de afastamento e pelo ponto B (O; 3; 2).

Exame de 1999 2ª Fase (DGD-B)

 


D-IP15.

Determine a recta de intersecção i do plano de topo pi com o plano oblíquo alfa.

- o plano de topo pi intersecta o eixo x no ponto de abcissa -5 e faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um diedro de 60º, de abertura para a direita;
- o plano oblíquo alfa é definido por uma recta de perfil p e pelo ponto C (O; 3; 3)
- a recta de perfil p contém os pontos A (-8; 8; 3) e B (-8; 3; 8)

Exame de 2000 2ª Fase (DGD-B)

 

 

 

D-IP16.

Determine a recta de intersecção i dos dois planos alfa e beta.

- o plano alfa é de rampa e é definido pelo seu traço frontal, que tem 3 de cota, e por uma recta a, fronto-horizontal, que tem 4 de afastamento e 1 de cota;
- o plano beta é de topo e faz um diedro de 30º (abertura para a direita, no 1º diedro) com o plano horizontal de projecção.

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IP17.

Determine as projecções da recta de intersecção i dos planos oblíquos alfa e beta.

- os traços do plano alfa são concorrentes num ponto N, com 0 de abcissa, e fazem ambos ângulos de 45º com o eixo x: o traço horizontal com abertura para a esquerda, e o traço frontal com abertura para a direita;
- o plano beta é definido pelo ponto X (-7; 0; 0) e pela recta r;
- a projecção horizontal r1 da recta r coincide com o traço horizontal do plano alfa
- o traço horizontal da recta r tem 5 cm de afastamento
- o traço frontal da recta r tem 5 cm de cota

Exame de 2002 2ª Fase (DGD-B)

 

 

 

D-IP18.

Determine as projecções da recta i de intersecção do plano oblíquo alfa com o plano de rampa teta

- os traços do plano alfa cruzam-se num ponto com abcissa nula e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;
- o plano teta é definido pelas rectas fronto-horizontais a e b;
- a recta a tem 2 de afastamento e 4 de cota;
- a recta b contem o ponto B (-5; 4; 3)

Exame de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IP19.

Determine as projecções da recta i de intersecção do plano beta com o plano alfa.

- o plano beta é horizontal e contém um ponto A (-5; 3; 7);
- o plano alfa é oblíquo e contem o ponto B (5; 2; 3);
- o traço horizontal do plano alfa cruza o eixo x no ponto de abcissa nula e faz, com a mesma, um ângulo de 45º (abertura para a direita).

Exame de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

 

D-IP20.

Determine as projecções da recta i de intersecção do plano vertical beta com o plano de rampa alfa.

- O traço horizontal do plano beta faz um Ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a direita) e Intersecta o mesmo eixo no ponto de abcissa nula;
- O plano de rampa alfa contém os pontos A (1; 4; 2) e B (-3; I; 6).

Exame de 2003 2ª Fase (DGD-B)

 

 

 

D-IP21.

Determine as projecções da recta i, de intersecção do plano vertical delta com o plano oblíquo beta.

- o plano vertical contém o ponto A (2; 2; 3), e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
- os traços do plano oblíquo beta intersectam-se num ponto com -4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano beta faz um Ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda; o traço frontal do plano beta faz um Ângulo de 45º com o mesmo eixo, de abertura para a direita.

Exame de 2004 2ª Fase (DGD-B)

 

 

D-IP22.

Determine as projecções da recta i, de intersecção dos planos oblíquos beta e ómega.

- o plano beta é definido pelas rectas paralelas r e s;
- a recta r contém os pontos R (0; 1 ; 5) e S (1 ; 2; 3)
- a recta s contém o ponto T (4; 1 ; 2)
- os traços do plano ómega intersectam-se num ponto com -8 de abcissa: o traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, e o traço frontal faz um ângulo de 60° com o mesmo eixo (ambos de abertura para a esquerda)

Exame de 2006 1ª Fase (GD-A)

 

 

 

D-IP23.

Determine as projecções da recta de intersecção, i, dos planos oblíquos αlfa e beta, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

– os traços do plano αlfa intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
– o plano beta é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;
– o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

Exame de 2009 1ª Fase (GD-A)

 

 

 

D-IP24.

Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo pí com o plano passante θ.

– o plano pí intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano pí fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

Exame de 2009 2ª fase (GD-A)

 

 

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-IR1.

Determine o ponto de intersecção I da recta horizontal n com o plano oblíquo alfa.

- a recta n contém o ponto P (5; 5; 3) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projecção;
- o plano oblíquo alfa contém o ponto X do eixo x, com abcissa -5, e uma recta frontal (de frente) f, que passa pelo ponto S (-4; 2; 3) e que faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção.

Exame de 1998 - 1ª Fase, 2ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IR2.

Determine o ponto de intersecção I da recta vertical v com o plano de rampa ró.

- a recta v contém o ponto P (2; -2; 7);
- o plano de rampa ró é definido pelo ponto A (-2; 2; 3) e pelo seu traço horizontal, que tem 4 de afastamento

Exame de 2000 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IR3.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano oblíquo alfa.

- a recta r é uma recta oblíqua passante, que contém o ponto A (-2; 6; 9) e o ponto B, do eixo x, com 4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x, e intersecta-o num ponto X, com abcissa -4;
- o plano alfa contém um ponto P, do Plano Frontal de Projecção, com 2 de abcissa e 9 de cota.

Exame de 1997 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IR4.

Determine o ponto de intersecção I da recta de topo t com o plano oblíquo alfa.

- a recta t contém o ponto P, com 6 de abcissa e 6 de afastamento, pertencente ao Bissector dos Diedros Ímpares;
- o traço frontal do plano oblíquo alfa faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura à esquerda, intersectando-o num ponto X, com 4 de abcissa;
- o plano oblíquo alfa contém o ponto A (- 4; 3; 2).

Exame de 1999 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IR5.

Determine o ponto de intersecção I da recta oblíqua r com o plano oblíquo alfa.

- a recta r intersecta o Plano Frontal de Projecção no ponto F (-2; 0; 5);
- as projecções da recta r fazem ambas, com o eixo x, ângulos de 30º, a projecção horizontal com abertura para a direita, e a projecção frontal com abertura para a esquerda;
- o plano oblíquo alfa está definido pelos seus traços nos planos de projecção e intersecta o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 30º, com abertura para a direita, e o traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 55º, com abertura para a esquerda.

Exame de 2001 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IR6.

Determine o ponto de intersecção I da recta frontal f com o plano de rampa ró.

- a recta f contem o ponto P (2; 4; 6) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano horizontal de projecção;
- o traço frontal do plano de rampa ró tem 3 de cota;
- o plano contém um ponto A, pertencente ao bissector dos diedros pares, que tem 6 de abcissa e 6 de cota.

Exame de 2002 Prova Modelo (DGD-B)

 

 

 

D-IR7.

Determine o ponto de intersecção I da recta obliqua r com o plano de rampa pi.

- a recta oblíqua r contém o ponto A (4; 4; 2) e intersecta o Plano Frontal de Projecção num ponto F, com abcissa nula, e as suas projecções são paralelas;
- o plano de rampa pi contem o ponto H (2; -9; 0) e tem os traços coincidentes.

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

 

D-IR8.

Determine o ponto de intersecção I da recta de nível n com o plano oblíquo alfa

- a recta n é definida pelos pontos A (0; 4; 3) e B, com 4 de abcissa e 5 de afastamento;
- o plano alfa é definido pela recta de maior declive d;
- a recta d é definida pelos pontos H e F, que são os seus traços nos planos de projecção;
- o ponto H tem 0 de abcissa e 6 de afastamento;
- o ponto F tem 5 de abcissa e 5 de cota.

Exame de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

 

 

 

D-IR9.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta h com o plano de rampa teta

- a recta h é horizontal, contem o ponto A (2; 1; 3) e faz um Ângulo de 30º com o plano frontal de projecção, de abertura para a esquerda, no 1º diedro;
- o plano teta contem o ponto P (7; 3; 2), e o seu traço frontal tem 5 de cota

Exame de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)



D-IR10.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta v com o plano de rampa teta.
                            
- a recta v é vertical e contém o ponto A (2; 3; 1);
- o plano teta contém um ponto P (-2; 2; 4) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento.

Exame de 2003 2ª Fase (DGD-B)

 

 

D-IR11.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta frontal f com o plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pela recta frontal a e pelo ponto B (0; 1; 6)
- a recta a contém o ponto H (3; 3; 0) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
- a recta f contém o ponto P (-4; 4; 2) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda.

Exame de 2004 - 2ª Fase (DGD-B)

 

 

 

D-IR12.

Determine as projecções do ponto I de intersecção do plano obliquo beta com a recta t

- o plano contém o ponto P (0; 3; 6) e a recta h, definida pelos pontos M (4; 3; 2) e N (-1; 6; 2);
- a recta t é de topo, tem -3 de abcissa e 4 de cota.

Exame de 2005 1ª Fase (DGD-B)

 

 

 

D-IR13.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta obliqua r com o plano obliquo beta.

- a recta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
- os traços do plano beta intersectam o eixo x num ponto com -2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

Exame de 2005 – 2ª Fase (DGD-B)

 

 

 

D-IR14.

Determine as projecções do ponto I, de intersecção da recta obliqua r com o plano de rampa teta.

- a recta r é definida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);
- os traços horizontal e frontal do plano de rampa teta têm, respectivamente, 6 de afastamento e 7 de cota

Exame de 2006 2ª fase (DGD-B)

 

 

D-IR15.

Determine o ponto de intersecção I, da recta horizontal n com o plano de rampa ró.
- o plano ró é definido pelo ponto A (–2; 2; 8) e pela recta a;
- a recta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β2,4;
- a recta n contém o ponto N (–4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

Exame de 2007 - 1ª Fase (GD-A)

 


D-IR16.

Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ró.

- o plano ró tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
- a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

Exame de 2008 1ª fase (GD-A)

 

 

FIGURAS PLANAS PARALELAS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO

De acordo com o que foi demonstrado aqui e aqui, podemos resolver os seguintes exercícios, desenhando a traço expressivo as projecções das figuras pedidas. Este tipo de exercícios servirá de base para se determinarem as projecções de sólidos de bases paralelas aos Planos de Projecção (como por exemplo: aqui e aqui):

D-FHF1.

Desenha as projecções de um quadrado [ABCD], situado no primeiro diedro, sabendo que:
- Pertence a um plano horizontal
- O vértice A tem de coordenadas (2; 4)
- A diagonal [AC] faz 60º (a.p.d.) com o eixo x tem 7 cm de comprimento

 

D-FHF2.

Determina as projecções de um pentágono regular [ABCDE], sabendo que:

- É paralelo ao Plano Horizontal de Projecção e situa-se totalmente no I Diedro
- O vértice A tem de coordenadas (0; 4)
- O ponto O é o centro da circunferência que circunscreve o pentágono
- [AO] faz um ângulo de 70º (a.p.e.) com o eixo x e tem 5 cm de comprimento.

 

D-FHF3.

Determina as projecções de um hexágono regular [ABCDEF], sabendo que:

- É horizontal e situa-se totalmente no I Diedro
- A e B são vértices consecutivos do hexágono
- O ponto A tem de coordenadas (0; 2; 0)
- O ponto B tem de coordenadas (5; 4; 0)

 

D-FHF4.

Desenha as projecções do triângulo equilátero [ABC], assente num plano frontal, sabendo que:

O vértice A tem de coordenadas (2; 2)
- O ponto O é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo
- [AO] faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x, e tem 5 cm de comprimento

 

D-FHF5.

Determina as projecções de um quadrado [ABCD], sabendo que:
- O quadrado situa-se totalmente no primeiro Diedro e pertence a um plano frontal
- O lado [AB] faz 30º (a.p.e.) com o eixo x e tem 6 cm de comprimento.
- O ponto A tem de coordenadas (0; 4; 2)

 

D-FHF6.

Determina as projecções de um hexágono regular [ABDCEF], contido num plano frontal e situado no espaço do Primeiro Diedro, sabendo que:
- O ponto A (1; 2; 3) é o vértice de menor cota do hexágono
- O lado [AB] faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 45º de abertura para a direita
- Os lados do hexágono medem 4 cm

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE(S) HORIZONTAL(AIS)

Nos exercícios seguintes, pede-se a representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones ou cilindros) rectos ou oblíquos, de base ou bases paralela(s) a um dos Planos de Projecção. Estes são todos os exercícios relativos ao conteúdo "Sólidos I" do programa de Geometria Descritiva A, que saíram nos exames nacionais entre 1998 e 2006 (códigos 109 e 409).
A sua resolução poderá ser útil, tanto para os alunos do 10º ano actual, como para os alunos do ano terminal da disciplina, pois, a partir destes, poderá ser incluída a representação das sombras própria e projectada, considerando a direcção luminosa convencional; ou a determinação da figura de secção produzida por um plano secante à escolha.

D-SH1.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma recta oblíqua passante g. Esta recta contém o vértice de um cone de revolução, existente no espaço do Primeiro Diedro, e um ponto da circunferência que delimita a sua base.
Represente esse sólido e verifique, em ambas as projecções, a visibilidade da recta, identificando-a com a convenção gráfica adequada.

- A recta g intersecta o eixo x no ponto X, com 5 de abcissa
- As projecções horizontal e frontal da recta fazem, com o eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e 60º, ambos de abertura para a direita
- A circunferência que delimita a base do cone tem 4 cm de raio e está contida num plano horizontal com 4 cm de cota

Exame de 1998 1ª Fase 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-SH2.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma recta r, pertencente ao bissector dos diedros ímpares.
Essa recta contém a diagonal [AF] de uma face lateral de um prisma quadrangular regular, com bases horizontais, existente no espaço do Primeiro Diedro.
Represente esse sólido e identifique as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- A projecção horizontal da recta faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita
- O extremo A, da diagonal [AF], tem 2 cm de afastamento
- O extremo F tem 5 cm de cota

Exame de 1998 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-SH3.

O triângulo equilátero [ABC] contido num plano horizontal niú, é a base de uma pirâmide recta.
Represente este sólido no sistema de dupla projecção ortogonal, identificando as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- o triângulo [ABC] está inscrito numa circunferência de centro em ponto O (0; 6; 7)
- o vértice A tem abcissa nula e 2 cm de afastamento
- o vértice V, do sólido, pertence ao Plano Horizontal de Projecção

Exame de 1999 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B)

D-SH4.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um pentágono regular [ABCDE], contido num plano horizontal niú e que é uma das bases de um prisma recto, situada no espaço do Primeiro Diedro.
Represente igualmente este sólido, identificando as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- O plano horizontal tem 1 cm de cota
- O centro da circunferência circunscrita à figura é o ponto O, com abcissa nula e 5 cm de afastamento
- O ponto A é um dos vértices do pentágono
- O raio [OA] da circunferência circunscrita tem uma inclinação de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projecção, e o ponto A tem 2 cm de afastamento
- as arestas laterais do sólido medem 3 cm

Exame de 2000 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

D-SH5.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cubo com a face [ABCD] contida no Plano Horizontal de Projecção.
Identifique as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- o ponto A (4; 3; 0) é o vértice da face [ABCD], localizado mais à esquerda
- o ponto E, com 5 de cota, define, com o vértice A, uma das arestas verticais do sólido
- o vértice B, que é contíguo ao vértice A, pertence ao eixo x

Exame de 2001 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B)

D-SH6.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um paralelepípedo rectângulo, situado no espaço do primeiro diedro, identificando as arestas que forem invisíveis com a convenção gráfica adequada.
                   
- os pontos A (-4; 5; 3) e G (4; 5; 6) são dois vértices opostos do sólido;
- as faces [ABCD] e [EFGH] estão, respectivamente, contidas nos planos horizontais niú1 e niú2;
- o vértice B tem -2 de abcissa e tem maior afastamento que o ponto A.

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-SH7.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma pirâmide triangular recta, de vértice V, com a base contida num plano horizontal niú.
Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

- a base da pirâmide é o triângulo equilátero [ABC]
- o segmento de recta [AV] é uma das três arestas laterais do sólido, e os seus extremos são os pontos A (-3; 5; 6) e V (0; 4; 0).

Exame de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-SH8.

Represente pelos seus contornos aparentes, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cone de revolução, com a base contida num plano de nível niú.

- o vértice do cone e o ponto V (0; 5; 2);
- o ponto P (3; 2; 7) é um dos pontos da circunferência da base.

Exame de 2002 - 2ª Fase (DGD-B)

 

D-SH9.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma pirâmide hexagonal recta, situada no primeiro diedro.
Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

- a base da pirâmide é o hexágono regular [ABCDEF], contido num plano horizontal
- a base está inscrita numa circunferência com centro no ponto 0 (2; 7; 1);
- um dos vértices da base é o ponto A, com 1 de abcissa e 3 de afastamento;
- o vértice V da pirâmide é um ponto do plano bissector dos diedros ímpares.

Exame de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-SH10.

Represente um cubo, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- a face [ABCD] está contida no plano horizontal niú;
- o vértice A pertence ao plano bissector dos diedros ímpares,tem 9 de abcissa e 3 de cota;
- o vértice B tem 4 de abcissa e é um ponto do plano frontal de projecção.

Exame de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

D-SH11.

Determine as projecções de um prisma triangular oblíquo, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- as bases do prisma são triângulos equiláteros contidos em planos horizontais;
- os pontos A (0; 5; 3) e B, com 4 de abcissa e 1 de afastamento, são vértices da base [ABC];
- o vértice D, com -3 de abcissa e 10 de afastamento, é um dos extremos da aresta lateral [AD];
- a altura do prisma mede 7 cm.

Exame de 2004 1ª Fase (DGD-B)

D-SH12.

Determine as projecções de uma pirâmide pentagonal oblíqua, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- a base da pirâmide é o pentágono regular [ABCDE], contido num plano horizontal;
- a base está inscrita numa circunferência com centro no ponto 0 (1; 6; 1) e 4 cm de raio;
- o vértice A, com 7,5 de afastamento, é o que se situa mais à esquerda;
- a aresta lateral [AV] é um segmento de recta frontal;
- o vértice da pirâmide, V, tem -5 de abcissa e 8 de cota.

Exame de 2004 2ª Fase (DGD-B)

D-SH13.

Represente uma pirâmide hexagonal oblíqua, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- a base da pirâmide é o hexágono regular [ABCDEF], contido num plano horizontal
- a base está inscrita numa circunferência com centro no ponto 0 (0; 6; 9);
- o vértice A da base da pirâmide tem - 4 de abcissa e 7 de afastamento;
- o vértice V da pirâmide tem - 6 de abcissa e 3 de afastamento;
- a aresta [AV] está contida numa recta obliqua passante.

Exame de 2005 – 2ª Fase (DGD-B)

D-SH14.

Represente um prisma quadrangular oblíquo, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- as bases do prisma são quadrados, contidos em planos horizontais com 2 e 8 de cota;
- os pontos A, com 6 de abcissa e 5 de afastamento, e B, com 3 de abcissa e 1 de afastamento, são vértices consecutivos da base de menor cota;
- o ponto A é o vértice do sólido situado mais à esquerda;
- as arestas laterais do prisma são paralelas ao plano frontal de projecção e medem 8 cm.

Exame de 2006 2ª Fase (DGD-B)

 

D-SH15.

Este exercício saiu num dos exame de DGD-A, mas aqui solicita-se apenas a representação do sólido:

Represente um prisma pentagonal oblíquo, com as bases horizontais e situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados
- uma das bases é o pentágono regular [ABCDE], inscrito numa circunferência de centro M (0; 6; 2);
- o vértice A tem 3,5 de abcissa e 6,5 de afastamento;
- as arestas laterais são segmentos de rectas de frente que fazem ângulos de 60º com os planos das bases (abertura a esquerda, no 1º diedro) e medem 7 cm.

Exame de 2002 1º Fase – 2ª Chamada (adaptado)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE(S) FRONTAL(AIS)

Nos exercícios seguintes, pede-se a representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones ou cilindros) rectos ou oblíquos, de base ou bases paralela(s) a um dos Planos de Projecção. Estes são todos os exercícios relativos ao conteúdo "Sólidos I" do programa de Geometria Descritiva A, que saíram nos exames nacionais entre 1998 e 2006 (códigos 109 e 409).
A sua resolução poderá ser útil, tanto para os alunos do 10º ano actual, como para os alunos do ano terminal da disciplina, pois, a partir destes, poderá ser incluída a representação das sombras própria e projectada, considerando a direcção luminosa convencional; ou a determinação da figura de secção produzida por um plano secante à escolha.

D-SF1.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, dois segmentos de recta concorrentes, [AE] e [AI].
Os extremos do segmento [AE] são vértices opostos de um octógono regular contido num plano frontal fí; esta figura é uma das bases de um prisma octogonal regular. O segmento [AI] é uma aresta lateral do prisma.
Represente esse sólido e identifique as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- o ponto de concorrência dos dois segmentos é o ponto A (2; 8; 8)
- o segmento de recta [AE] é frontal, faz um ângulo de 55º de abertura para a esquerda com o Plano Horizontal de Projecção e mede 6 cm
- o ponto E tem cota inferior à do ponto A
- o segmento [AI] tem o extremo I contido no Plano Frontal de Projecção

Exame de 1998 Prova Modelo (DGD-B)

D-SF2.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um quadrado [ABCD], contido num plano frontal fí.
Esta figura é a base de uma pirâmide recta. Represente esse sólido e identifique as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- Os pontos A (0; 8; 8) e B (4; 8; 5) são dois vértices consecutivos do quadrado
- O ponto A é o vértice de maior cota da base da pirâmide
- O ponto V, que é o vértice do sólido, pertence ao Plano Frontal de Projecção

Exame de 1999 Prova Modelo (DGD-B)

D-SF3.

O quadrado [ABCD], contido no Plano Frontal de Projecção, é uma das faces de um cubo, situado no Primeiro Diedro.
Represente este sólido no sistema de dupla projecção ortogonal, identificando as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- O vértice A do quadrado tem abcissa nula e 2 cm de cota
- O vértice B tem 3 cm de abcissa
- As arestas do cubo medem 6 cm

Exame de 1999 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B)

D-SF4.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um prisma hexagonal recto, existente no primeiro Diedro, com as bases contidas em dois planos frontais alfa e beta.
Identifique as arestas do sólido que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- As bases do sólido são hexágonos regulares
- Os pontos A (-2; 1; 2) e D (3; 1; 7), contidos no plano alfa, são dois vértices opostos da base [ABCDEF]
- O plano beta dista 6 cm do plano alfa

Exame de 1999 2ª Fase (DGD-B)

D-SF5.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um hexágono regular [ABCDEF], contido num plano frontal fí, que é a base de uma pirâmide recta, situada no espaço do Primeiro Diedro.
Represente igualmente este sólido, identificando as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- O ponto A (1; 2; 3) é o vértice de menor cota do hexágono
- O lado [AB] da figura está contido numa recta frontal f, que faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 45º de abertura para a direita
- Os lados do hexágono medem 4 cm
- O vértice da pirâmide é o ponto V, que dista 7 cm de plano frontal fí

Exame de 2000 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B)

D-SF6.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cubo, com duas faces contidas em planos frontais. Este sólido encontra-se situado no espaço do Primeiro Diedro. Identifique as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- A face [ABCD] do sólido está contida no plano fí, com 3 cm de afastamento
- O ponto B, com 3 de abcissa e 5 de cota, e o ponto D, com -4 de abcissa e 4 de cota, são os extremos de uma das diagonais desta face

Exame de 2000 2ª Fase (DGD-B)

D-SF7.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um prisma triangular recto, existente no espaço do Primeiro Diedro.
Identifique as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

- uma das bases do sólido é o triângulo equilátero [ABC], que está contido no Plano Frontal de Projecção e cujos lados medem 5 cm
- o vértice A, que é o vértice que se situa mais à esquerda, tem abcissa nula e 6 de cota
- o vértice B tem -3 de abcissa e tem menor cota que o ponto A
- o segmento de recta [AD] é uma das arestas laterais do prisma, e o ponto D pertence ao plano bissector dos diedros ímpares.

Exame de 2001 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

D-SF8.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma pirâmide pentagonal recta, existente no espaço do Primeiro Diedro e com a base contida num plano frontal fí. Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

- a base da pirâmide é o pentágono regular [ABCDE], com centro em O (O; 2; 4)
- o raio da circunferência circunscrita à base do sólido mede 4 cm
- o vértice A do pentágono tem 8 de cota e pertence à recta vertical v, que contém o ponto O
- o vértice da pirâmide é o ponto V, que dista 7 cm do plano frontal fí.

Exame de 2001 2ª Fase (DGD-B)

D-SF9.

Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base frontal e de vértice V, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- a base é o quadrado [ABCD], que está inscrito numa circunferência com centro no ponto M, o qual tem 0 de abcissa e 5,5 de cota e pertence ao bissector dos diedros impares;
- o vértice A tem 4 de abcissa e 4 de cota;
- o vértice B é o de menor cota;
- a aresta lateral [AV] é horizontal;
- a aresta lateral [BV] é de perfil
- o vértice V pertence ao plano frontal de projecção

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

D-SF10.

Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- a base da pirâmide está contida num plano frontal;
- os pontos A (6; 5; 10) e C são vértices opostos do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;
- o vértice C tem 10 de abcissa e 2 de cota;
- o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com 1 de abcissa

Exame de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

D-SF11.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um prisma quadrangular recto, situado no primeiro diedro.
Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

- as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
- uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], cujo vértice A tem 3 de afastamento e 2 de cota
- a aresta [AB] dessa base mede 5 cm e faz um ângulo de 30° com o Plano Horizontal de Projecção de abertura para a direita;
- a altura do prisma mede 7 cm.

Exame de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-SF12.

Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cone de revolução, com a base contida num plano de frente fí.

- os pontos A (3; 1; 9) e V (5; 8; 6) definem uma das geratrizes do cone, sendo V o vértice do sólido.

Exame de 2003 2ª Fase (DGD-B)

 

D-SF13.

Represente um cone oblíquo de base circular, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência da base do sólido.

- A base do sólido está contida num plano frontal, com centro no ponto 0(4; 1; 5);
- o ponto A, com 4 de abcissa e 8 de cota, é um ponto da circunferência da base;
- a geratriz [AV] do cone é horizontal;
- o vértice V tem 11 de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros impares

Exame de 2003 2ª Fase (DGD-B)

D-SF14.

Represente um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência de uma das bases do sólido.

- as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;
- o ponto 0(3; 1 ; 5) é o centro de uma das bases;
- os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro.

Exame de 2006 1ª Fase (DGD-B)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO VERTICAL

 

D-FV1.

Represente, pelos seus traços nos Planos de Projecção, o plano vertical beta que contém o triângulo [ABC]. Desenhe as projecções do triângulo e determine a sua verdadeira grandeza.

- os pontos A (O; 2; 4) e B (-5; 7; 2) são dois vértices da figura;
- o vértice C tem 2 de abcissa e 8 de cota

Exame de 1997 1ª Fase - 1ª Chamada

 

D-FV2.

Determine as projecções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano vertical alfa existente no espaço do Primeiro Diedro.

- O plano alfa faz um diedro de 45º com o Plano Frontal de Projecção, com abertura para a direita
- O ponto A, que é um vértice da figura, pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 2,5 cm de cota;
- o lado do hexágono mede 5 cm
- o vértice B, que é contíguo ao vértice A, pertence ao Plano Horizontal de Projecção.

Exame de 1998 Prova Modelo

 

D-FV3.

Determine as projecções de um triângulo rectângulo [ABC], contido num plano vertical, existente no espaço do primeiro Diedro.

- os pontos A (2; 2; 4) e C (7; 5; 2) são os extremos da hipotenusa do triângulo
- o ponto C é o vértice de menor cota da figura
- o cateto [AB] faz um ângulo de 60º com a hipotenusa.

Exame de 1998 1ª Fase – 2ª Chamada

 

D-FV4.

Determine as projecções do rectângulo [ABCD], contido no plano vertical alfa e situado no primeiro Diedro.

- os pontos A (O; 2; 7) e B (4; 6; 1) são os extremos de um dos lados maiores do rectângulo
- os lados menores da figura medem 4 cm.

Exame de 1999 1ª Fase – 1ª Chamada

 

D-FV5.

Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], existente no espaço do primeiro diedro e contido num plano vertical alfa.

- o plano vertical alfa faz, com o Plano Frontal de Projecção, um diedro de 60º de abertura para a direita
- os lados do triângulo medem 6 cm;
- o vértice A tem afastamento nulo e 4 de cota
- o vértice B tem cota nula.

Exame de 2000 1ª Fase – 1ª Chamada

 

D-FV6.

Determine as projecções do pentágono regular [ABCDE], contido num plano vertical alfa.

- o centro da figura é o ponto O (5; 3; 4)
- o plano vertical alfa intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
- o vértice A do pentágono está contido no Plano Horizontal de Projecção e pertence à recta vertical v, que passa pelo ponto O

Exame de 2000 2ª Fase

 

D-FV7.

Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro e contido num plano vertical alfa

- o ponto A (0; 3; 5) é um dos vértices do hexágono;
- a diagonal [AD]do hexágono esta contida numa recta obliqua d, cujas projecções, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60° (de abertura a esquerda) e 30° (de abertura a direita);
- os lados do hexágono medem 3 cm.

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada

 

D-FV8.

Determine as projecções do hexágono regular [ABCDEF], existente no espaço do primeiro diedro e contido num plano vertical delta

- os pontos A e B são os extremos do lado [AB] da figura
- o ponto A pertence ao Plano Horizontal de Projecção, tem 3 de abcissa e 3 de afastamento
- o outro extremo é o ponto B (6; 6; 1,5).

Exame de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (programa em vigor até 2003)

 

D-FV9.

Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.

- o quadrado está contido num plano vertical d, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
- o quadrado está inscrito numa circunferência com centro no ponto 0(0; 4; 6) e 3,5 cm de raio;
- o vértice A do quadrado tem -1 de abcissa
- A é o vértice de maior cota.

Exame de 2004 - 2ª Fase

 

D-FV10.

Represente o rectângulo [ABCD], situado no 1º diedro.

- o ponto A (-1; 2; 3) e o ponto B, com 1 de abcissa, são dois vértices consecutivos do rectângulo;
- o rectângulo está contido no plano vertical b, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a esquerda);
- o lado [AB] está contido numa recta cujas projecções, horizontal e frontal, são paralelas entre si;
- o lado maior do rectângulo mede 7 cm.

Exame de 2005 1ª Fase

 

D-FV11.

Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.

- o hexágono está contido num plano vertical a, cujos traços se intersectam num ponto com zero de abcissa;
- o traço horizontal do plano a faz um Ângulo de 60° com o eixo x, de abertura para a direita;
- o ponto A, com 3 de afastamento e 3 de cota, é um dos vértices do hexágono;
- o lado [AB]éhorizontal e mede 4 cm.

Exame de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE TOPO

 

D-FT1.

Determina as projecções de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo alfa
 
- O plano alfa faz um diedro de 45º com o Plano Horizontal de Projecção, com abertura para o lado direito;
- A diagonal [AC] da figura está contida no Bissector dos Diedros ímpares;
- O vértice A tem 2 de cota e o vértice C tem 6 de afastamento.

Exame de 1997 Prova Modelo (DGD-B)

 

D-FT2.

Desenhe as projecções de um hexágono regular [ABCDEF], existente no espaço do Primeiro Diedro e contido num plano de topo beta. 

- o plano de topo beta faz um diedro de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção
- os pontos A (O; 4; 0) e B (O; 9; 0) são dois vértices consecutivos da figura.

Exame de 1997 2ª Fase (DGD-B)

 

D-FT3.

Determine as projecções de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo pi e existente no espaço do primeiro diedro.                                         

- o plano pi faz um diedro de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção;
- o ponto M, com 4 de afastamento, é o centro da figura e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares;
- a diagonal [AC] está contida numa recta r, cuja projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, de abertura para a direita;
- o raio da circunferência circunscrita ao quadrado mede 4 cm.

Exame de 1998 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-FT4.

Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], contido no plano de topo beta.

- o plano de topo beta faz um diedro de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção, intersectando o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- o triângulo está inscrito numa circunferência, cujo centro é o ponto O, que tem 4 de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares;
- o vértice A da figura pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 3 de cota.

Exame de 1999 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-FT5.

Determine as projecções do triângulo rectângulo [ABC], contido num plano de topo beta e existente no espaço do primeiro diedro.

- os pontos A e B são os dois extremos de um dos catetos da figura
- o ponto A pertence ao Bissector dos Diedros Ímpares, tem 3 de abcissa e 2 de afastamento
- o ponto B, com 7 de abcissa e 6 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o cateto [AC] mede 8 cm.

Exame de 2000 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-FT6.

Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de topo beta

- o ponto M (-2; 3,5; 2) é o ponto médio do lado [AB] do quadrado
- o ponto N (-6; 5,5; 6) é o ponto médio do lado [CD] do quadrado

Exame de 2001 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-FT7.

Represente o rectângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano de topo alfa.

- os pontos A (0; 4; 0) e B (4; 0; 4) são dois vértices consecutivos da figura;
- as diagonais medem 8 cm.

Exame de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-FT8.

Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de topo alfa.

- o quadrado esta inscrito numa circunferência de 4 cm de raio, com centro no ponto M (2,5; 6; 2,5);
- o vértice A pertence ao Plano Horizontal de Projecção e tem 0 de abcissa;
- o afastamento do vértice A é maior que o do ponto M.

Exame de 2002 - 2ª Fase (DGD-B)

 

D-FT9.

Determine as projecções de um quadrado [ABCD] contido num plano de topo beta, situado no primeiro diedro.

- o traço frontal do plano beta faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a direita);
- um dos vértices do quadrado é o ponto A, com 3 de afastamento e 2 de cota;
- o lado do quadrado mede 5 cm;
- o vértice B pertence ao traço horizontal do plano

Exame de 2003 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-FT10.

Represente o pentágono regular [ABCDE], situado no 1º diedro e contido num plano de topo beta.

- o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto 0 (4; 3; 4);
- o vértice A do pentágono tem 5 de abcissa, 5 de cota e pertence ao plano frontal de projecção

Exame de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-FT11.

Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.

- o hexágono esta contido no plano de topo alfa;
- o traço frontal do plano alfa contém um ponto do eixo x com 4 de abcissa e faz um ângulo de 50º com o mesmo eixo (de abertura para a direita);
- o vértice A do hexágono tem 2 de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares
- o vértice B tem abcissa nula e 2 de afastamento.

Exame de 2006 -1ª Fase (DGD-B)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS, RECTAS E FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE PERFIL

 

D-FP1.

Determine as projecções do ponto I de intersecção de duas rectas de perfil r e s.

- a recta r contém os pontos A (0; 7; 1 ) e B (0; -2; 10)
- a recta s contém o ponto C (0; 1; 2) e é paralela ao Bissector dos Diedros Ímpares

Exame de 1997 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-FP2.

Determine as projecções dos pontos X e Y resultantes da intersecção de uma recta p com uma circunferência com ela complanar.

- a recta e a circunferência estão ambas contidas num plano de perfil pi
- a recta p contém o ponto A, com 6 de afastamento e 10 de cota, e intersecta o Plano Horizontal de Projecção num ponto H, com 1 de afastamento;
- o centro da circunferência é o ponto O, com 5 de afastamento e 4 de cota
- a curva é tangente ao Plano Horizontal de Projecção.

Exame de 1999 Prova Modelo (DGD-B)

 

D-FP3.

Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de perfil pi, assinalando-as a traço contínuo forte.                                                     

- O centro da figura é o ponto O, que tem 4,5 cm de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares;
- O ponto A, com 1 de afastamento e 4 de cota, é um dos vértices do quadrado.

Exame de 1999 1ª Fase (DGD-B)

 

D-FP4.

Determine as projecções dos pontos X e Y, de intersecção de duas circunferências contidas num plano de perfil pi.

- A primeira circunferência, cujo centro é o ponto C (4; 6; 4), é tangente ao traço horizontal do plano pi
- A segunda circunferência, cujo centro é o ponto O, com 4 de afastamento e 6 de cota, é tangente ao traço frontal do plano pi

Exame de 2001 2ª Fase (DGD-B)

 

D-FP5.

Determine os pontos H e F, que são os traços de uma recta de perfil p nos planos de projecção.

- A recta p contém os pontos A e B;
- O ponto A tem 3 de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares
- O ponto B, que está situado no segundo Diedro, tem -2 de afastamento e 8 de cota.

Exame de 2001 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-FP6.

Determine as projecções dos pontos I e Q, que são os traços da recta de perfil p nos planos bissectores, respectivamente, dos diedros pares e ímpares.

- A recta p contem os pontos A e H;
- O ponto A fica situado no segundo diedro e tem -3 de afastamento e 5 de cota;
- O ponto H pertence ao Plano Horizontal de Projecção e tem 7 de afastamento.

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B)

 

D-FP7.

Determine as projecções do rectângulo [ABCD], contido no plano de perfil pi situado no primeiro diedro, assinalando-as a traço contínuo forte.

- Um dos vértices do rectângulo é o ponto A (-1; 5; 8)
- O vértice B é um ponto do plano bissector dos diedros impares, com 2 de cota;
- O vértice C pertence ao Plano Horizontal de Projecção.

Exame de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B)

 

D-FP8.

Determine as projecções dos pontos H e F da recta de perfil p.

- Os pontos H e F são, respectivamente, os traços horizontal e frontal da recta p nos planos de projecção;
- A recta p é definida pelos pontos A (0; 6; -2) e B;
- O ponto B pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 3 de cota.

Exame de 2003 2ª Fase (DGD-B)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) VERTICAL(AIS)

D-SV1.

Constrói a representação Diédrica de um prisma quadrangular regular situado no I Diedro, sabendo que:
- A (3; 3; 0) e B (7; 1; 0), são vértices consecutivos da base, que está contida num plano vertical
- o prisma tem 6 cm de altura
Identifica, com um traçado adequado, as visibilidades e invisibilidades do prisma.

Observação: a base [ABCD] em rebatimento foi representada a traço-ponto, embora actualmente tal não se enquadre nas convenções gráficas usuais aplicáveis

 

D-SV2.

Constrói a representação Diédrica de uma pirâmide hexagonal regular situada no I Diedro, sabendo que:
a base [ABCDEF], que está contida num plano vertical
os pontos A (0; 2; 4) e B (2; 5; 2) são dois vértices consecutivos da base
a pirâmide tem 8 cm de altura
Identifica, com um traçado adequado, as visibilidades e invisibilidades da pirâmide.

Observação: a base [ABCDEF] em rebatimento foi representada a traço-ponto, embora actualmente tal não se enquadre nas convenções gráficas usuais aplicáveis

 

D-SV3.

Represente o pentágono regular [ABCDE] contido num plano vertical alfa. Esta figura é a base de uma pirâmide pentagonal recta situada no 1º diedro.
Represente igualmente o sólido, assinalando com a convenção gráfica adequada as arestas invisíveis.

- o centro da figura é o ponto O (5; 5; 4);
- o plano vertical alfa intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
- o vértice A do pentágono está no plano horizontal de projecção e pertence à recta vertical v, que passa pelo ponto O ;
- a pirâmide tem 8 de altura.

Exame de 2002 - Prova Modelo (DGD-B)

Observação: a base [ABCDEF] em rebatimento foi representada a traço-ponto, embora actualmente tal não se enquadre nas convenções gráficas usuais aplicáveis

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) DE TOPO

D-ST1.

Constrói a representação Diédrica de uma pirâmide hexagonal regular situado no I Diedro, sabendo que:
- os pontos A (3; 1; 1) e B (7; 0; 3) são dois vértices consecutivos da base
- a base da pirâmide está contida num plano de topo            
- a pirâmide tem 7 cm de altura
Identifica com um traçado adequado, as visibilidades e invisibilidades da pirâmide.

Observação: a base [ABCDEF] em rebatimento foi representada a traço-ponto, embora actualmente tal não se enquadre nas convenções gráficas usuais aplicáveis

D-ST2.

Constrói a representação Diédrica de um prisma octogonal de bases de topo, sabendo que:
- O centro da base [ABCDEFGH] é o ponto O (4; 3,5; 3,5)
- O plano que contém essa base faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- O vértice A tem abcissa e cota iguais à do ponto O, e situa-se no Plano Frontal de Projecção
- O prisma tem 3 cm de altura
Identifica com um traçado adequado, as visibilidades e invisibilidades do prisma.

Observação: a base [ABCDEFGH] em rebatimento foi representada a traço-ponto, embora actualmente tal não se enquadre nas convenções gráficas usuais aplicáveis

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) DE PERFIL

D-SP1.

Constrói a representação Diédrica de uma pirâmide quadrangular regular situada no I Diedro, sabendo que:
- A base [ABCD] é de perfil, tem 2 cm de abcissa e 5 cm de lado
- o vértice A tem de coordenadas (3; 1)
- o lado [AB] faz um ângulo de 30º com o Plano Horizontal de Projecção,
- o vértice B tem cota superior ao vértice A
- a pirâmide tem 8 cm de altura
- o vértice da pirâmide está à esquerda da base de A
Identifica, com um traçado adequado, as visibilidades e invisibilidades da pirâmide.

 

D-SP2.

Constrói a representação Diédrica de um prisma hexagonal regular, situado no I Diedro, sabendo que:
- As bases do prisma são de perfil
- o vértice A (2; 3; 2) pertence à base de menor abcissa do prisma
- as arestas da base medem 4,5 cm
- O vértice B situa-se no Plano Frontal de Projecção
- O prisma tem 5 cm de altura
Identifica, com um traçado adequado, as visibilidades e invisibilidades do prisma.

 

D-SP3.

Represente um cubo com duas faces de perfil, situado no 1ºdiedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- a face [ABCD] é a face de perfil que se situa mais à esquerda;
- o vértice A tem 1 de afastamento e 5 de cota;
- o vértice B tem 5 de afastamento e 2 de cota

Exame de 2002 - 2ª Fase (DGD-B)

 

D-SP4.

Represente um prisma pentagonal regular, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
- as bases do prisma estão contidas em planos de perfil;
- a base situada mais a direita está inscrita numa circunferência com centro no ponto 0 (1; 4; 6);
- a aresta lateral do prisma que contem o vértice A da referida base tem 2 de afastamento, 8 de cota e mede 6 cm.

Exame de 2005 1ª Fase

 

D-SP5.

Construa a representação diédrica de um prisma quadrangular oblíquo de bases de perfil, considerando os seguintes dados:

- a base [ABCD] é a base do prisma situada mais à esquerda

- A (10; 6)

- B e C pertencem, respectivamente ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção

- a aresta da base [AB] tem 9cm de comprimento

- as arestas laterais do prisma são paralelas ao bissector dos diedros ímpares, fazendo a sua projecção frontal um ângulo de 25º (de abertura para a direita) com o eixo x

- o prisma tem 9cm de altura.

Veja no link seguinte uma resolução dinâmica deste exercício

 

 

 

 

 

 

 

 

PARALELISMO DE RECTAS E PLANOS (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-PL1.

Determine as projecções de uma recta oblíqua o, paralela ao plano oblíquo alfa e ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares, sabendo que:

- o plano oblíquo alfa contém uma recta r;
- a recta r é definida pelo ponto A (O; 3; 2) e pelo ponto B, com 4 de abcissa, 4 de cota e pertencente ao Plano Bissector dos Diedros Pares;
- o traço frontal do plano alfa faz, com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a direita;
- a recta o contém o ponto P (-4; -2; -4)

adaptado do exame nacional de DGD-B, 1997

 

D-PL2.

Determine as projecções de uma recta horizontal h, paralela ao plano oblíquo beta, sabendo que:

- a recta h contém o ponto P (0; 5; 3)
- o plano beta é definido pela recta frontal f e pelo ponto A (-3; 2; 3)
- a recta f contém o ponto B (-7; 5; -5)
- a projecção frontal da recta f faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a esquerda

adaptado do exame nacional de DGD-B, 2003 1ª Fase – 2ª Chamada

 

D-PL3.

Determina os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, sabendo que:

- o plano alfa contém a recta horizontal h e o ponto A, com - 4 de abcissa e 7 de cota, pertencente ao plano frontal de projecção;
- a recta h contém o ponto B (-2; 1; 3), e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a direita);
- o plano beta contém o ponto C (0; 3; 7)

 

D-PL4.

Determina os traços de um plano oblíquo beta, paralelo ao plano oblíquo alfa, sabendo que:

- o plano alfa intersecta o eixo x na origem das coordenadas e contém uma recta o
- a recta o é definida pelos pontos A (-3; 2; 3) e B (-7; 9; 9)
- o plano beta contém o ponto W (3; -3; 0).

adaptado do exame nacional de DGD-B, 2003

 

D-PL5.

Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo alfa, sabendo que:

- é definido por um ponto A (4; 2; 8) e por uma recta de perfil p, que contém os pontos B (0; -2; 8) e C (0; 8; -2).

Determine ainda os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto W (0; 0; 4).

(adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B)

 

D-PL6.

Determina os traços de um plano oblíquo alfa, sabendo que:

- é definido pelo ponto A (-3; 2; 3) e por uma recta frontal f, que contém o ponto B (-7; 5; -5) e cuja projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x.

Determina ainda os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto X, situado na origem das coordenadas.

adaptado de um ex. de exame nacional de DGD-B

 

D-PL7.

Representa um plano oblíquo alfa, sabendo que contém a origem das coordenadas um ponto de abcissa nula e que os seus traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos de 45º (a.p.e.) e 60º (a.p.d.).

Determina os traços de um plano beta, paralelo ao plano alfa, de modo a conter o ponto P (-3; 3; 3).

 

D-PL8.

Considerando um plano oblíquo, desenha uma recta horizontal h, paralela a esse plano, sabendo que

- a plano oblíquo contém a recta r
- a recta r é definida por A (0; 3; 2) e por B (4; -4; 4)
- o traço frontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.p.e.)
- a recta h contém o ponto P (-3; 2; 6)ntal da recta f faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a esquerda

 

D-PL9.

Passando por P (-3; 3), desenhar um plano beta, paralelo ao plano de rampa teta, cujos traços frontal e horizontal distam, respectivamente, do eixo x, 5 e 3 cm.

 

D-PL10.

Determine as projecções da recta b paralela ao plano αlfa e ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).


– o plano αlfa é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
– o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
– a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).

Exame de 2008, 2ª fase (GD-A)

Observação:

Para a determinação da recta pedida, era necessário definir uma outra recta pertencente ao plano oblíquo dado e ao beta 2,4 (esta recta é, necessariamente, passante, com as projecções coincidentes e tem de conter pelo menos dois pontos do plano, também com as projecções coincidentes). Nesta proposta de resolução, a recta i foi definida pelo ponto I da recta oblíqua r e pelo ponto I', da recta passante s). Podiam ter sido determinados os traços do plano oblíquo, mas não eram necessários.

 

D-PL11.

Determine os traços do plano pí que contém o ponto P e é paralelo ao plano alfa.

– o plano alfa é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;
– o plano pí contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

Exame de 2010, 2ª fase (GD-A)


 

PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-PP1.

Determina as projecções de uma recta r, sabendo que:

- o seu traço horizontal tem abcissa nula e 6 de afastamento
- o seu traço frontal tem 7 de abcissa e 3 de cota negativa.

Desenha um plano alfa, perpendicular à recta r, sabendo que contém o ponto P (-4; 4; 4).

 

D-PP2.

Determina as projecções de uma recta r, sabendo que:

- o seu traço horizontal tem abcissa nula e 6 de afastamento
- o seu traço frontal tem 7 de abcissa e 3 de cota negativa.

Desenha as projecções de uma recta s, paralela ao Plano Frontal de Projecção e perpendicular à recta r, sabendo que é concorrente com esta no bissector dos diedros pares

 

D-PP3.

Desenha as projecções de uma recta horizontal h, sabendo que:

- o seu traço frontal tem 3 de cota e 2 de abcissa negativa
- faz um ângulo de 30º (a.p.e.) com o P.F.P.

Desenha as projecções de uma recta p, oblíqua e perpendicular à recta h, sabendo que é concorrente com esta num ponto do beta13

 

D-PP4.

Desenha as projecções de uma recta horizontal h, sabendo que:

- o seu traço frontal tem 3 de cota e 2 de abcissa negativa
- faz um ângulo de 30º (a.p.e.) com o P.F.P.

Desenha as projecções de uma recta a, também horizontal, mas ortogonal à recta h.

 

D-PP5.

Desenha as projecções de uma recta r, sabendo que:

- contém o ponto A (0; 2,5; 4)
- as suas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita.

Desenha as projecções de uma recta oblíqua s e perpendicular à da recta r, sabendo que contém o ponto P (-6; 2; 4)

 

D-PP6.

Considera um plano de rampa alfa, cujos traços horizontal e frontal têm, respectivamente, 5 de afastamento negativo e 2 de cota.

Determina as projecções de uma recta g, perpendicular ao plano de rampa, sabendo que contém o ponto P (3; 4).

 

D-PP7.

Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano alfa.

- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
- a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)

Exame de 2006 - 2ª Fase (GD-A)


D-PP8.

Determine os traços do plano beta, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano alfa.

- o plano alfa contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
- o plano beta contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)

Exame de 2007 - 2ª fase (GD-A)

 

D-PP9.

Determine as projecções da recta s perpendicular à recta r.

– a recta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
– a recta s, concorrente com a recta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

Exame de 2010, 1ª fase (GD-A)

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

 

D-FO1.

Constrói a representação diédrica de um quadrado [ABCD], situado no espaço do primeiro diedro e pertencente a um plano oblíquo alfa

- os traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com aberura para a esquerda)
- o vértice A tem 3cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice B tem 4,5cm de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projecção

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

D-FO2.

Representa, com um traçado adequado, as projecções de um Hexágono regular [ABCDEF] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente ao plano alfa

- Os traços horizontal e frontal do plano alfa fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita
- A (8,5; 3)
- o lado [BC] pertence ao Plano Frontal de Projecção

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

D-FO3.

Representa as projecções de um Pentágono regular [ABCDE] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente ao plano oblíquo alfa

- O plano alfa é oblíquo e perpendicular ao bissector os diedros ímpares
- O traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- O ponto A tem 6cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono e o vértice A pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do ponto A.

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

D-FO4.

Desenha as projecções de um quadrado [ABCD], pertencente a um plano oblíquo alfa.

- o centro do quadrado é o ponto O (-6; 3,5; 3)
- os traços do plano fazem, ambos, ângulos de 45º(abertura para a direita) com o eixo x
- uma das diagonais é horizontal
- o vértice A está no traço horizontal do plano

adaptado do Exame de 2002 - Prova Modelo (DGD-A)

(a editar)

Relatório desta resolução do exercício:
1. Determinam-se as projecções do ponto O
2. Para definir os traços do plano oblíquo, há que:
a) Desenhar uma recta que contenha o ponto O. Como uma das diagonais é uma recta horizontal (que terá, necessariamente, de conter o ponto O), desenhamos uma recta horizontal h,  passando por O. A projecção horizontal desta recta deverá fazer um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x, por ser paralela ao traço horizontal do plano oblíquo.
b) Determina-se o traço frontal da recta h
c) Por F2h, desenha-se o traço frontal do plano oblíquo, a 45º (a.p.d.) com o eixo x.
d) No ponto em que f alfa intersecta o eixo x, desenhamos o traço horizontal de alfa, paralelo a h1.
3. Sendo A um dos vértices do quadrado, terá necessariamente cota nula, por pertencer ao traço horizontal de alfa, donde se conclui que A não pertencerá à recta h (dado que h tem 3cm de cota). O ponto A pertencerá à outra diagonal do quadrado, que deverá ser desenhada em rebatimento.
Para definir o quadrado, há que rebater o plano oblíquo que o contém - neste caso, optou-se por rebater o plano segundo o método das rectas horizontais (sendo h alfa a charneira do rebatimento):
4. Passando por F1h, desenhar uma linha perpendicular à charneira do rebatimento
5. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa se intersectam, desenhar um arco de circunferência até intersectar esta linha, definindo o traço frontal da recta h em rebatimento (Fhr)
6. Unindo o ponto em que f alfa e h alfa se cruzam com Frh, definimos o traço frontal do plano oblíquo em rebatimento (f alfa r)
7. Por Frh, desenhar a recta horizontal h em rebatimento (que será paralela ao traço horizontal do plano)
8. A partir de O1, e através de uma perpendicular à charneira, definimos o ponto O em rebatimento (Or), quando esta linha intersecta a recta h rebatida.
10. Sendo as diagonais de um quadrado perpendiculares, desenhamos, em rebatimento e passando por Or, uma recta perpendicular a hr, que conterá os vértices A e C em rebatimento.
11. O ponto em que esta recta intersecta o traço horizontal do plano corresponde ao ponto A rebatido, pertencente ao traço horizontal do plano.
12. Pertencendo A à charneira, coincidirá com a sua projecção horizontal, A1, situando-se A2, necessariamente, no eixo x, por A ter cota nula.
13. Com centro em Or e abertura até Ar, po desenhar uma circunferência que definirá o quadrado em verdadeira grandeza e os vértices Br, Cr e Dr.
14. O contra-rebatimento dos vértices D e B é simples, por sabermos que ambos pertencerão à recta h - basta desenhar, a partir de Br e de Dr, rectas perpendiculares á charneira que definirão B1 e D1 ao intersectarem h1; as projecções B2 e D2 situar-se-ão em h2, determináveis através de perpendiculares ao eixo x.
15. Para contra-rebater o vértice C, desenhamos uma recta horizontal a em rebatimento, passando por Cr, até intersectar f alfa rebatido (definido no ponto 6 deste relatório), definindo o traço frontal desta recta a em rebatimento - Fra.
16. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa intersectam o eixo x e abertura até Fra, desenhamos um arco que, ao intersectar f alfa, define F2a, a partir do qual definimos F1a no eixo x
17. Pelo traço frontal da recta a podemos desenhar as projecções da recta horizontal a (a2 paralelo ao eixo x e a1 paralelo a h alfa)
18. A perpendicular à charneira que passa por Cr definirá C1 (projecção horizontal do ponto C), ao intersectar a1 (projecção horizontal da recta a).
19. A partir de C1, definimos C2 em a2.
20. Estando já as projecções de todos os vértices do quadrado determinados, basta uni-los, a traço expressivo, obtendo a sua projecção horizontal [A1B1C1D1] e a sua projecção frontal [A2B2C2D2].

 

D-FO5.

Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo beta

- os traços horizontal e frontal do plano beta fazem, respectivamente com o eixo x, ângulos de 45º e 60º, ambos com abertura para a esquerda
- os traços do plano beta intersectam-se na origem das coordenadas
- o vértice A está no traço horizontal do plano e tem 2 de afastamento
- o vértice B está no traço frontal do plano e tem 6 de cota

Exame de 2003 - 2ª Fase (DGD-B)

Relatório da resolução do exercício:
1. Desenhamos os traços do plano oblíquo
2. De acordo com o enunciado, os vértices A e B terão, respectivamente de coordenadas (2; 0) e (0; 6). Definimos as suas projecções, pertencendo A a h alfa e B a f alfa.
Para definir o triângulo, devemos rebater o plano que o contém (neste caso, optou-se por rebatê-lo sobre o plano Horizontal de Projecção, segundo o método do triângulo do rebatimento):
3. Identificamos a charneira do rebatimento, que será o traço horizontal do plano
4. O vértice A coincidirá com o seu rebatimento, por pertencer à charneira (A1 coincide com Ar)
5. Para rebater o vértice B temos de, a partir de B1, desenhar uma perpendicular à charneira (que ao intersectá-la, define um ponto a que atribuímos a notação K)
6. A partir de B1, desenhamos uma paralela à charneira, em que marcamos a medida da cota de B, definindo um ponto a que podemos atribuir a notação Br1.
7. Unindo K com Br1, temos a hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B
8. Com centro em K e abertura até Br1, desenhamos um arco de circunferência que, ao cruzar com a perpendicular à charneira, define o ponto B em rebatimento (Br).
9. A partir de Ar e de Br, desenhamos um triângulo equilátero
Para contra-rebater o vértice C invertemos o processo utilizado para rebater o vértice B:
10. Por Cr, desenhamos uma perpendicular à charneira que, ao intersectá-la, define um ponto a que podemos atribuir também a notação K
11. Por este ponto K, desenhamos uma paralela à hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B (referida no ponto 7 deste relatório)
12. Com centro em K e abertura até Cr, desenhamos um arco de circunferência que, ao intersectar a paralela à hipotenusa, definirá Cr1
13. Por Cr1, desenhamos uma paralela à charneira, definindo o triângulo do rebatimento do vértice C - o triãngulo [C1Cr1K]
14. A partir de C1 desenhamos uma perpendicular ao eixo x
15. A medida de [C1Cr1] corresponderá à medida da cota do vértice C, que podemos marcar na linha respectiva, a partir do eixo x
16. Basta unirmos as projecções de mesmo nome dos vértices A, B e C para definirmos as projecções do triângulo equilátero pedido.

D-FO6.

Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], pertencente a um plano oblíquo beta

- o traço horizontal do plano do triângulo faz 55º (abertura para a esquerda) com o eixo x
- o triângulo está inscrito numa circunferência de centro em O (4; 3; 2)
- o ponto A (6; 1; 4) é um dos seus vértices.

Exame de 2006 - 2ª fase (DGD-B)

 

D-FO7.

Desenha as projecções do quadrado [ABCD] contido no plano oblíquo alfa

- o ponto A (-5,5; 5; 3) é um dos seus vértices
- o vértice C tem abcissa nula e 2,5 de afastamento
- a diagonal [AC] pertence a uma recta oblíqua passante p
- o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, 45º (abertura para a direita)

Exame de 2006 - 2ª fase (GD-A)


D-FO8.

Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo αlfa.

- o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
- o lado [BC] pertence à recta s;
- o ponto F, traço frontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
- as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
- os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

Exame de 2008 - 1ª fase (GD-A)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE RAMPA

 

D-FR1.

Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro e pertencente a um plano de rampa

- os pontos A (0; 2; 4) e B (5; 6; 0) são vértices da figura

Exame de 2002 - 2ª fase (DGD-B)

 

D-FR2.

Determine as projecções de um losango [ABCD], situado no 1º diedro.

- o losango pertence a um plano de rampa teta, cujo traço horizontal tem 7cm de afastamento
- o vértice A pertence ao traço frontal do plano, tem 2 de abcissa negativa e 5 de cota
- o vértice C tem 2 de abcissa e 1 de cota
- [AC] é uma diagonal do losango
- a diagonal [BD] mede 6cm

Exame de 2004 - 2ª fase (DGD-B)

 

D-FR3.

Determine as projecções de um quadrado [ABCD], de rampa.

- os pontos A (1; 1; 7) e C (-1; 4; 2) definem uma das suas diagonais

Exame de 2005 - 2ª fase (DGD-B)

 

D-FR4.

Represente, pelas suas projecções, horizontal e frontal, o rectângulo [ABCD] do 1.º diedro e contido num plano de rampa teta

– o traço horizontal do plano de rampa tem 6 de afastamento;
– o vértice A pertence ao plano frontal de projecção, tem 2 de abcissa e 4 de cota;
– o lado [AB] faz, com o traço frontal do plano, um ângulo de 35°, com abertura para a direita, e é um dos lados maiores do rectângulo;
– os lados medem 3 cm e 6 cm

Exame de 2007 - 2ª fase (DGD-B)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO PASSANTE

 

D-FP1.

Determina as projecções de um hexágono regular [ABCDEF], do primeiro diedro, pertencente ao plano bissector dos diedros ímpares

- o vértice A tem 3 cm de cota
- o vértice B tem 3 cm de afastamento
- o hexágono tem 4cm de lado
- o vértice B situa-se à direita de A


D-FP2.

Determina as projecções de um pentágono regular [ABCDE], pertencente a um plano passante e situado no espaço do primeiro diedro

- B (2; 3)
- o vértice A situa-se à direita de B e pertence ao eixo x
- o pentágono tem 5cm de lado

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

D-FP3.

Construa a representação diédrica de um quadrado [ABCD], situado no espaço do primeiro diedro pertencente a um plano passante

- A (2; 3) é o vértice de menor cota
- a aresta [AB] está contida numa recta a, que faz um ângulo de 30º com o eixo x, de abertura para a esquerda;
- o quadrado tem 5cm de lado.

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) OBLÍQUO(S)

 

D-SO1.

Representa as projecções de uma pirâmide quadrangular recta, situada no espaço do primeiro diedro, com 12 cm de altura

- a base [ABCD] é um quadrado, pertencente a um plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com abertura para a esquerda)
- o vértice A tem 3cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice B tem 4,5cm de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projecção

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

D-SO2.

Desenha as projecções de um prisma pentagonal recto de bases oblíquas, situado no espaço do primeiro diedro

- A base [ABCDE] pertence a um plano alfa, oblíquo e perpendicular ao bissector dos diedros ímpares
- O traço frontal do plano alfa faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- O vértice A tem 6cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono regular [ABCDE] e o vértice A pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do vértice A
- O prisma tem 9cm de altura

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

D-SO3.

Determine as projecções do Triângulo equilátero [ABC], pertencente a um plano oblíquo beta, sabendo que:

- O traço horizontal do plano do triângulo faz 55º (a.p.e.) com o eixo x
- O triângulo está inscrito numa circunferência de centro em O (4; 3; 2)
- O ponto A (6; 1; 4) é um dos seus vértices

Considerando que este triângulo é a base de uma pirâmide regular com 8cm de altura, situada no primeiro diedro, desenha as suas projecções com um traçado adequado.

adaptado do exercício II do Exame nacional de GD-A - 2006, 2ª fase

Observação:

O plano oblíquo que contém o triângulo [ABC] foi rebatido sobre o PHP, segundo o Método do Triângulo do Rebatimento (traçados a verde). A determinação da altura da pirâmide em verdadeira grandeza foi realizada através da Mudança do Plano Horizontal de Projecção (a vermelho) para a recta e (é a recta que contém o eixo da pirâmide e é perpendicular ao plano oblíquo que contém a sua base).

 

D-SO4.

Desenha as projecções do Quadrado [ABCD], pertencente a um plano oblíquo alfa, sabendo que:

- o centro do quadrado é o ponto O (-6; 3,5; 3)
- os traços do plano alfa fazem, ambos, com o eixo x, ângulos de 45º (a.p.d.)
- uma das diagonais é horizontal
- o vértice A está no traço horizontal do plano

Considerando que este quadrado é uma das faces de um cubo situado no primeiro diedro, desenha as suas projecções com um traçado adequado.

Observação:

O plano oblíquo que contém o quadrado [ABCD] foi rebatido sobre o PHP, segundo o Método das Rectas Horizontais. A determinação da altura do cubo (que corresponde à medida da sua aresta em verdadeira grandeza, marcada entre C'r e Gr) foi realizada através do rebatimento do Plano de Topo que contém a recta c, sobre o Plano Horizontal de Projecção (a recta c é a recta que contém a aresta [CG] do cubo e é perpendicular ao plano oblíquo que contém a face [ABCD]).

 

D-SO5.

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;
– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– as diagonais da base medem 10 cm;
– o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];
– a pirâmide tem 12 cm de altura.

Exame de 2009 2ª fase (GD-A)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) DE RAMPA

 

D-SR1.

Construa urna representaçao diédrica de urn prisma hexagonal regular, situado no primeiro diedro, com as bases contidas em planos de rarnpa, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- o ponto 0 (4; 3; 3), pertencente ao plano de rarnpa pí, é o centro de uma das bases;
- o vértice J (4; 4; 9) é o vértice de maior cota da outra base do sólido;
- os planos das bases fazem diedros de 35º com o plano horizontal de projecçâo.

Exame de 2006 – 1ª fase (DGD-A)

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE SÓLIDOS DE BASE SITUADA EM PLANO PASSANTE

 

D-SP1.

Construa a representação diédrica de um cubo, situado no espaço do primeiro diedro e com uma das faces pertencente a um plano passante

- A (2; 3) é o vértice de menor cota da face [ABCD];
- a aresta [AB] está contida numa recta a, que faz um ângulo de 30º com o eixo x, de abertura para a esquerda;
- o cubo tem 5cm de aresta.

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

resolução passo-a-passo

 

 

 

PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-D1.

Determine graficamente a distância d do ponto P ao plano oblíquo alfa.

- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o plano alfa intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, ambos, ângulos de 45º (de abertura para a direita) com o eixo x.

Exame 2002 – 1ª fase 2ª Chamada (DGD-A)


D-D2.

Determine graficamente a distância d do ponto P à recta de frente f.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o traço horizontal H da recta f tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
- a recta faz um ângulo de 30º (de abertura a direita) com o plano horizontal de projecção, medido no 1º diedro.

Exame 2003 – 2ª fase (DGD-A)

 

D-D3.

Determine graficamente a verdadeira grandeza do segmento de recta [HI] e represente os pontos H e I pelas suas projecções.

- o segmento de recta [HI] está contido numa recta de perfil p, que é definida pelos pontos A (0; 1; 5) e B, com 6 de afastamento e 2 de cota
- o ponto H é o traço horizontal da recta p
- o ponto I é o ponto de intersecção da recta p com o plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com e eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e 60º (ambos com abertura para a direita), intersectando-o num ponto com 5 de abcissa.

Exame 2004 – 1ª fase (DGD-A)

(a editar)

 

D-D4.

Determine graficamente a distância d entre os planos paralelos alfa e beta.

- o plano alfa contém uma recta horizontal, n, que intersecta o plano frontal de projecção no ponto Fn (0; 0; 8) e cuja projecção horizontal faz um ângulo de 60º (de abertura a direita) com o eixo x;
- o plano beta contém uma recta obliqua b, cujos traços nos planos de projecção são os pontos Hb (3; 4; 0) e Fb (-3; 0; 6).

Exame 2004 – 2ª fase (DGD-A)

8a editar)

 

D-D5.

Determine graficamente a distancia d, entre o ponto P e a recta de perfil p.
Dados:
- o ponto P tem 2 de abcissa, 2 de afastamento e 3,5 de cota;
- a recta de perfil p é definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2)

Exame 2006 - 2ª Fase (GD-A)

 

D-D6.

Determine graficamente a distância d do ponto P à recta passante r.

- o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem –4 de abcissa e 4,5 de cota;
- os traços da recta r têm 4 de abcissa;
- as projecções da recta fazem, ambas, ângulos de 50° (de abertura à direita) com o eixo x.

Exame 2007 - 2ª Fase (GD-A)

8a editar)

 

D-D7.

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, alfa e beta.
Dados:
– o traço frontal do plano αlfa intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano beta contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).

Exame de 2009 - 2ª fase (GD-A)

 

PROBLEMAS MÉTRICOS - ÂNGULOS (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-A1.

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelo plano oblíquo alfa com o plano frontal de projecção.

- o plano alfa é definido pelo ponto P (0; -4; 2) e pela recta de nível (horizontal) n
- a recta de nível n contém o ponto A (3; 3; 4) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano frontal de projecção.

Exame de 2002 Prova Modelo (DGD-A)

RELATÓRIO DA RESOLUÇÃO:
0. Determinam-se as projecções dos pontos P, A, e da recta horizontal n.
1. Para determinar o ângulo pedido, devemos antes determinar os traços do plano oblíquo. Para tal, temos de:
1.1. A partir dos elementos dados, desenhar uma outra recta p, pertencente ao plano, que deverá passar pelo ponto P e ser paralela ou concorrente com a recta n (é mais simples desenhar uma recta p, paralela à recta n)
1.2. Determinam-se os traços frontais das rectas n e p.
1.3. Unindo F2n com F2p, temos o traço frontal do plano oblíquo, que ao cruzar com o eixo x, define o ponto K
1.4. O traço horizontal do plano oblíquo deverá passar por este ponto K e ser paralelo a n1 e a p1, porque ambas são rectas horizontais do plano.
1.5. Temos já desenhados os traços f alfa e h alfa.
2. A seguir, devemos representar o Plano Frontal de Projecção, que designamos de plano fí, e que tem apenas traço horizontal, coincidente com o eixo x (porque o Plano Frontal de Projecção é um plano frontal de afastamento nulo)
3. Para determinar o ângulo que o plano oblíquo faz com o Plano Frontal de Projecção, recorremos ao seguinte processo:
3.1. Determinar a recta de intersecção entre o plano oblíquo e o Plano Frontal de Projecção (recta i, cujo traço horizontal está no ponto em que h alfa e h fí se intersectam (no eixo x); sendo i2 coincidente com f alfa, e i1 coincidente com o eixo x, porque a recta é frontal e tem afastamento nulo)
3.2. Desenhar um plano qualquer pi, perpendicular à recta i (este plano será um plano de topo, sendo h pi perpendicular a i1 e f pi perpendicular a i2).
3.3. Determinar a recta de intersecção do plano pi com o plano oblíquo (que designamos de recta a – o seu traço frontal está aonde f alfa e f pi se intersectam, e o seu traço horizontal está aonde h alfa e h pi se intersectam; a2 coincide com f pi)
3.4. Determinar a recta de intersecção do plano pi com o plano fí (que designamos de recta b – o seu traço horizontal está aonde h fí e h pi se intersectam (no eixo x); b2 coincide com f pi, e b1 coincide com o eixo x)
4. O ângulo que procuramos é o ângulo entre as rectas a e b. Como as rectas não estão em verdadeira grandeza, devemos rebatê-las. Para tal, rebatemos o plano de topo pi que as contém.
4.1. Considerando h pi como a charneira do rebatimento, rebatemos o traço frontal da recta a (com centro no ponto em que o plano intersecta o eixo x, e abertura até F2a, rebatemos até ao eixo x, aonde teremos Fra).
4.2. Unindo Fra com Hra (que coincide com H1a, porque pertence à charneira), temos a recta a rebatida.
4.3. A recta b, porque é uma recta frontal de afastamento nulo, quando rebatida, coincidirá com f pi rebatido, que coincide com o eixo x.
5. O ângulo que procuramos corresponde ao ângulo entre ar e br.

Saliente-se que este processo de resolução era um dos que poderiam ter sido seguidos, não sendo, necessariamente, o mais simples. Veja aqui outro processo de resolução, igualmente válido.

 

D-A2.

Determine graficamente a amplitude do ângulo alfa, formado pelas rectas n e f.

- as rectas são concorrentes no ponto P (0; 5; 3)
- a recta n é de nível (horizontal) e faz um ângulo de 45º (de abertura para a direita) com o plano frontal de projecção
- a recta f é de frente (frontal) e faz um ângulo de 60º (de abertura para a direita) com o plano horizontal de projecção.

Exame 2002 – 1ª fase 1ª Chamada (DGD-A)

 

D-A3.

Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelo plano oblíquo alfa com o plano horizontal de projecção.

- o plano alfa intersecta o eixo x (Linha de Terra) no ponto X, de abcissa nula;
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, com o eixo x, respectivamente, ângulos de 30º e de 45º (ambos com abertura para a esquerda).

Exame 2002 – 2ª fase (DGD-A)

Observação:
no original, os ângulos dos traços horizontal e frontal do plano oblíquo com o eixo x deveriam ser, respectivamente, de 45º e 30º. Por lapso meu, estes ângulos estão trocados na resolução apresentada, sendo, no entanto, toda a resolução do exercício semelhante à que era pretendida. A resolução acima corresponde inteiramente ao enunciado apresentado.



D-A4.

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos alfa e beta.

- o plano alfa é vertical, faz um diedro de 45º com o plano frontal de projecção (com abertura a direita) e intersecta o eixo x num ponto A, com 4 de abcissa;
- os traços do plano beta fazem, ambos, ângulos de 60º com o eixo x (o horizontal com abertura à esquerda e o frontal com abertura à direita) e são concorrentes num ponto B, com - 4 de abcissa.

Exame 2003 – 1ª fase 1ª Chamada (DGD-A)

 

D-A5.

Determine graficamente a amplitude do ângulo alfa, formado pelas rectas n e p.

- as rectas são concorrentes no ponto P (0; 6; 5);
- a recta p é de perfil e intersecta o Plano Frontal de Projecção no ponto F, com 8 de cota;
- a recta n é de nível (horizontal) e faz um ângulo de 45º (de abertura para a esquerda) com o plano frontal de projecção

Exame 2003 – 1ª fase 2ª Chamada (DGD-A)

 

D-A6.

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos alfa e beta.

- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, respectivamente, ângulos de 45º (de abertura à esquerda) e 30º (de abertura à direita) com o eixo x e intersectam-se num ponto com 4 de abcissa;
- os traços do plano beta intersectam-se num ponto com - 4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano beta é paralelo ao traço horizontal do plano alfa, e o seu traço frontal é perpendicular ao traço frontal do plano alfa.

Exame de 2005 – 1ª Fase (DGD-A)


D-A7.

Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelas rectas f e b.

- as rectas são concorrentes no ponto P (0; -4; 4)
- a recta f é frontal e faz um ângulo de 20º (com abertura para a direita) com o Plano Horizontal de Projecção
- a recta b está contida no beta24, e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (abertura para a direita) com o eixo x

Exame de 2005 – 2ª Fase (DGD-A)

 

D-A8.

Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pela recta r com o plano obliquo alfa.

- a recta r é paralela ao eixo x e tem 4 de afastamento e 6 de cota;
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem com o eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e de 60º (ambos de abertura para a direita).

Exame 2006 – 1ª fase (DGD-A)


 

D-A9.

Determine graficamente a amplitude, alfa, do ângulo das duas rectas enviesadas n e f.

- a recta n é horizontal, intersecta o Plano Frontal de Projecção no ponto Fn (-4; 0; 4) e faz, com este, um ângulo de 60º de abertura para a direita
- a recta f é frontal, intersecta o Plano Horizontal de Projecção no ponto Hf (4; 4; 0) e faz, com este, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda

Exame de 2006-1ª Fase (GD-A)


D-A10.

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos alfa e beta.

- os planos intersectam-se na recta de perfil p, cujos traços nos planos de projecção são os pontos H (– 3; 6; 0) e F, com 3 de cota;
- os traços do plano alfa intersectam o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- os traços do plano beta intersectam o eixo x no ponto Y, com 9 de abcissa.

Exame de 2007 -1ª Fase (DGD-A)

 

D-A11.

Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projecção.

- o plano θ é definido pela recta d, uma recta de maior declive que contém o ponto P (0; 4; 2);
- a projecção horizontal da recta d faz um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.

Exame de 2008 - 2ª Fase (GD-A)

Para a resolução d este exercício, optou-se por determinar as projecções de uma recta i, de intersecção entre o PFP e o plano oblíquo (recta frontal), após o que se desenhou um plano perpendicular a essa recta (plano beta, de topo). Determinar-se então a intersecção deste com os dois planos dados (recta a e recta b, respectivamente, frontal e oblíqua). O ângulo pedido corresponde aoângulo entre estas duas rectas. O plano de topo que as contém deveria ser rebatido sobre o PHP ou sobre o PFP (como é o caso desta proposta).

 

D-A12.

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.

– a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4);
– a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o ponto F, traço frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
– a recta s é concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota;
– as projecções da recta s são perpendiculares às projecções homónimas da recta r.

Exame de 2009 - 1ª fase (GD-A)

 

 

SOMBRAS DE FIGURAS PLANAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SF1.

Represente o quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo beta.
De acordo com a direcção luminosa convencional, determine a sombra produzida pelo quadrado [ABCD] nos planos de projecção.
Traceje, nas suas partes visíveis, a sombra nos planos de projecção, utilizando linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa.

- o centro do quadrado é o ponto 0(-6; 3,5; 3);
- uma das diagonais é horizontal;
- os traços do plano b fazem ambos ângulos de 45º (ab. para a direita) com o eixo x
- o vértice A está no traço horizontal de beta.

Exame de 2002 Prova Modelo (Código 408)

 

D-SF2

Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano vertical delta, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra real produzida pelo quadrado [ABCD] nos planos de projecção.
Represente a traço interrompido a parte invisível do contorno da sombra projectada. Identifique as áreas visíveis da sombra projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera fazê-lo com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa.)

- o vértice A tem abcissa nula, 4 de afastamento e 2 de cota;
- o plano delta faz um diedro de 45º (de abertura para a direita, no 1º diedro) com o plano frontal de projecção
- o vértice B pertence ao plano frontal de projecção e tem 4 de cota.

Exame de 2002 1ª Fase 1ª Chamada (Código 408)

(a editar)

 

D-SF3

Represente o triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro e contido num plano de topo beta, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra real projectada pelo triângulo [ABC] nos planos de projecção.
Represente a traço interrompido a parte invisível do contorno da sombra projectada. Identifique as áreas visíveis da sombra projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera fazê-lo com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa.)

- o centro do triângulo é o ponto 0,que tem 3 de abcissa e 4 de afastamento e pertence ao bissector dos diedros ímpares;
- o vértice A tem 0 de abcissa e 6 de cota e pertence ao traço frontal do plano beta.

Exame de 2003 1ª Fase 2ª Chamada (Código 408)

 

D-SF4.

Represente um hexágono regular [ABCDEF] situado no 1º diedro e contido num plano vertical alfa, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra real projectada pelo hexágono nos planos de projecção.
Represente a traço interrompido a parte invisível do contorno da sombra. Identifique as áreas visíveis da sombra projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera fazê-lo com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa.)

- os pontos A (0; 2; 0) e B (-3; 4; 0) são dois vértices consecutivos do hexágono

Exame de 2003 2ª Fase (Código 408)

(a editar)

 

SOMBRAS DE PIRÂMIDES SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SS1.

Represente uma pirâmide triangular regular, de vértice V, situada no 1º diedro e com a base [ABC] paralela ao plano horizontal de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Represente a traço interrompido as arestas invisíveis e a parte invisível do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

- o vértice A tem -3,5 de abcissa, 1 de afastamento e 7 de cota;
- o vértice V pertence ao plano horizontal de projecção, tem abcissa nula e 4 de afastamento.

Exame de 2002 2ª Fase (DGD-A)

D-SS2.

Represente uma pirâmide quadrangular regular de base horizontal, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e a parte invisível do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

- o vértice da pirâmide e o ponto V (0; 5; 9)
- o ponto A (2; 1; 2,5) e um dos vértices da base [ABCD].

Exame de 2003 1ª Fase 1ª Chamada (DGD-A)

 

D-SS3.

Represente uma pirâmide hexagonal regular de base de perfil, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível do contorno da sombra projectada, identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada).

- Os pontos A (0; 3; 0) e B (0; 6,5; 0) são vértices consecutivos do hexágono da base;
- o vértice principal da pirâmide, V, fica situado 7 cm à direita do plano da base.

Exame de 2005 1ª Fase (DGD-A)

 

D-SS4.

Represente uma pirâmide quadrangular regular de base horizontal, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Represente, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as partes invisíveis do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras próprias e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

- o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 6; 0);
- o ponto A (3,5; 8; 6) é um dos vértices da base [ABCD].

Exame de 2006 2ª Fase (DGD-A)

 

D-SS5.

Represente, em dupla projecção ortogonal, uma pirâmide triangular regular de base frontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Represente, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as partes invisíveis do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras próprias e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

- O ponto A (4; 7; 3) é um dos vértices da base [ABC]
- O vértice principal, V, tem 0 de abcissa, 1,5 de afastamento e 4,5 de cota

Exame de 2006 1ª Fase (GD-A)

 

D-SS6.


Represente uma pirâmide pentagonal oblíqua de base horizontal, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua
sombra real projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis e a parte invisível do contorno da sombra projectada. Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme. (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)
Dados:
– a base da pirâmide é um pentágono regular, cujo centro é o ponto O (2,5; 6; 7);
– o ponto A, com 2,5 de abcissa e 2,5 de afastamento, é um dos vértices da base;
– o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 2,5; 0)

Exame de 2007 2ª Fase (GD-A)

 

 

SOMBRAS DE PRISMAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SS6.

Represente um prisma triangular regular, situado no 1º diedro e com uma das bases, [ABC], assente no plano horizontal de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do prisma e a sua sombra real nos planos de projecção.
Represente a traço interrompido a parte invisível do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

- o vértice A tem abcissa nula e 2 de afastamento;
- o vértice B tem 5,5 de abcissa e 3 de afastamento;
- a altura do prisma é 6 cm.

Exame de 2002 1ª Fase 2ª Chamada (DGD-A)

 

D-SS7.

Represente um prisma pentagonal oblíquo de bases horizontais, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do prisma e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Represente, a traço interrompido, as arestas invisíveis e a parte invisível do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada).

- as bases do prisma são pentágonos regulares
- os pontos O (0; 6; 0) e O’ (2,5; 6; 6,5) são os centros das bases
- o vértice A, da base de menor cota, tem abcissa nula e 2,5 de afastamento

Exame de 2004 1ª Fase (DGD-A)

 

D-SS8.

Represente um cubo, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cubo e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis e a parte invisível do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada).

- a face [ABCD] do cubo é paralela ao plano frontal de projecção;
- os pontos A e B são dois vértices consecutivos da face [ABCD];
- o vértice A tem abcissa nula, 2 de afastamento e 5 de cota;
- o vértice B tem 4 de abcissa e 3 de cota.

Exame de 2006 1ª Fase (DGD-A)

 

D-SS9.

Represente um prisma triangular oblíquo de bases regulares, situado no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do prisma e a sua sombra real, projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, arestas invisíveis; identifique, igualmente, a parte ocultada do contorno da sombra projectada. Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado, ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo  x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)
Dados:
– as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
– os pontos A (0; 6,5; 0) e B (5; 6,5; 1,5) são dois vértices consecutivos de uma das bases;
– o ponto A e o ponto D (0; 2,5; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma.

Exame de 2007 1ª Fase (DGD-A)

 

 

SOMBRAS DE CONES SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SS9.

Represente um cone de revolução de base horizontal, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Represente, a traço interrompido, as partes invisíveis da separatriz e do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada).

- a base tem centro no ponto 0 (3; 7; 2,5) e 3 cm de raio;
- o vértice V do cone tem 10 de cota.

Exame de 2004 2ª Fase (DGD-A)

 


D-SS10.

Represente um cone oblíquo de base circular, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Represente, a traço interrompido, as partes invisíveis da separatriz e do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada).

- a base é horizontal, tem centro no ponto O (0; 5; 6) e tem 4cm de raio
- o vértice V do cone tem 2 de abcissa, 5 de afastamento e 1 de cota

Exame de 2005 2ª Fase (DGD-A)


D-SS11.

Represente, em dupla projecção ortogonal, um cone de revolução de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as geratrizes invisíveis da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

- o plano horizontal que contém a base do sólido tem 5,5 de cota;
- o vértice V do cone é um ponto do semiplano horizontal anterior com 2 de abcissa e 7,5 de afastamento;
- o raio da circunferência da base mede 3,5 cm.

Exame de 2007 2ª Fase (GD-A)

 

D-SS12.

Represente, pelas suas projecções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
Dados:
– a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem
2 de abcissa e 8 de afastamento;
– o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

Exame de 2009 - 1ª fase (GD-A)

 

 

SOMBRAS DE CILINDROS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SS13.

Represente pelas suas projecções um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no espaço do primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cilindro e a sua sombra real nos planos de rojecção.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

- uma das bases está assente no Plano Horizontal de Projecção, tendo o seu centro 5 de afastamento
- um (e apenas um) dos pontos do cilindro tem 1cm de afastamento
- as geratrizes pertencem a rectas oblíquas, cujas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos de 61º e 45º, ambos com abertura para a direita
- o cilindro tem 7cm de altura.


D-SS14.

Represente pelas suas projecções um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cilindro e a sua sombra real nos planos de rojecção.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

- as bases são horizontais;
- o ponto O (4; 7; 8) é o centro de uma das bases;
- a base de centro O’ tem 2 de cota;
- o raio das bases mede 4 cm.

Exame de 2008 - 1ª Fase (GD-A)

 

 

SECÇÕES PRODUZIDAS EM PIRÂMIDES (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SC1.

Desenha, com um traçado fino mas adequado, as projecções de uma pirâmide hexagonal regular, situada no espaço do primeiro diedro, e a figura de secção nela produzida por um plano de topo, de acordo com os dados abaixo apresentados:

Dados sobre a pirâmide:

- a base [ABCDEF] pertence ao Plano Horizontal de Projecção
- o vértice A dista 2 cm de Plano Frontal de Projecção
- a diagonal [AD] é de topo e tem 10 cm de comprimento
- a pirâmide tem 10 cm de altura

Dados sobre o plano secante:

- O plano intersecta o eixo x no ponto X, situado 8 cm à esquerda do ponto A
- O plano faz um ângulo de 30º (a.p.d.) com o Plano Horizontal de Projecção

b) Determina ainda a verdadeira grandeza da secção.

c) Desenha com um traçado expressivo e adequado, o tronco de pirâmide resultante da secção que contém a maior parte da base da pirâmide.

 

 

D-SC2.

Desenha, com um traçado fino mas adequado, as projecções de uma pirâmide pentagonal regular, situada no espaço do primeiro diedro, e a figura de secção nela produzida por um plano vertical, , de acordo com os dados abaixo apresentados:

Dados sobre a pirâmide:

- a base [ABCDE] é paralela ao Plano Horizontal de Projecção
- o vértice A tem de coordenadas (0; 11; 9)
- o ponto O, que é o centro da circunferência que circunscreve a base, tem de coordenadas (0; 6; 9)
- a pirâmide tem 7 cm de altura
- o vértice da pirâmide tem menor cota do que a base

Dados sobre o plano secante:

- O plano intersecta o eixo x no ponto X, situado 8 cm à direita do ponto A
- O plano faz um ângulo de 30º (a.p.e.) com o Plano Frontal de Projecção

b) Determina ainda a verdadeira grandeza da secção.

c) Desenha a pirâmide truncada resultante da secção produzida, com um traçado expressivo, considerando o tronco de pirâmide com a maior parte da base.

 

 

D-SC3.

Determina as projecções de uma pirâmide pentagonal regular de base de topo, situada no espaço do primeiro diedro, e do contorno da figura de secção nela produzida por um plano secante vertical, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados sobre a pirâmide:

- O plano de topo intersecta o eixo x num pponto com 2cm de abcissa
- O ponto O (6; 4; 4) é centro da base [ABCDE]
- [OA] é de topo e tem 4 cm de comprimento   
- O vértice A tem maior afastamento do que o ponto O
- a pirâmide tem 8 cm de altura

Dados sobre o plano secante:

- O plano contém o ponto Z, do eixo x, com 11 cm de abcissa
- O plano faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, com abertura para a direita

Salienta, com um traçado expressivo e adequado, todas as visibilidades e invisibilidades da pirãmide e da figura de secção produzida.

 

 

D-SC4.

Determina as projecções de uma pirâmide hexagonal oblíqua e da figura de secção nela produzida pelo plano teta, considerando os seguintes dados:

Dados sobre a pirâmide:

- situa-se no espaço do primeiro diedro
- A base [ABCDEF] é frontal
- A (5; 9; 1,5)
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve a base, tem abcissa positiva e maior do que A
- [OA] faz um ângulo de 45º com o Plano Horizontal de Projecção
- As arestas da base medem 4,5 cm de comprimento
- O vértice B tem abcissa menor do que o vértice A
- A aresta lateral [BV] pertence a uma recta passante que contém a origem das coordenadas
- o vértice principal da pirâmide tem 1cm de abcissa

Dados sobre o plano secante:
- é de rampa
- faz um ângulo de 55º com o Plano Frontal de Projecção, tendo o seu traço no mesmo plano cota igual à do vértice de maior cota da pirâmide.

Desenha as projecções da pirâmide e da figura de secção com um traçado expressivo e adequado, salientando todas as suas visibilidades e invisibilidades.

 

 

D-SC5.

Represente, em dupla projecção ortogonal, uma pirâmide pentagonal regular de base horizontal e ainda um plano de topo pi. Representa as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano de topo e determina a verdadeira grandeza da secção.
Identifica, a traço interrompido, as arestas invisíveis da pirâmide. Preencha a tracejado, a verdadeira grandeza da secção.

- O ponto A (-5; 9; 1,5) é um dos vértices da base [ABCDE] da pirâmide
- O vértice principal, V, tem -5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota
- O plano de topo faz 35º (a.p.d.) com o P.H.P., e contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.

Exame de 2006 - 2ª fase (GD-A)

Observação:

Para a determinação do ponto de secção Q, situado na aresta de perfil [AV], foi utilizado um plano secante auxiliar beta, que por ser paralelo ao plano da base da pirâmide, a secciona produzindo uma figura de secção pentagonal (não identificada com notações, para não sobrecarregar o desenho), com os lados paralelos às arestas da base da pirâmide.
A verdadeira grandeza da secção (determinada por rebatimento do plano de topo pi sobre o PHP) foi preenchida com cor cinzenta em vez do tracejado que era pedido no enunciado. Apesar de ainda não existirem normas definidas quanto à orientação do tracejado a realizar no exame nacional, aconselho o/ aluno/a a preencher a referida figura com um tracejado paralelo ao eixo x (a uma distância máxima de 3milímetros entre cada linha).

 

 

D-SC6.

Represente pelas suas projecções uma piramide pentagonal obliqua com base contida no plano horizontal de projecção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ. Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

- a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O (4; 5; 0) e 5 cm de raio;
- a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;
- o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;
- o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

Exame de 2008 - 2ª Fase (GD-A)

Observação:

A determinação da secção na pirâmide pelo plano secante poderia ter sido obtida por outro processo que não recorrendo à terceira projecção, como aqui. Em minha opinião, apesar de um pouco mais trabalhoso, este tipo de resolução é visualmente mais interessante e de melhor compreensão. A figura de secção apresenta algumas invisibilidades na projecção frontal, porque três das suas arestas são definidas por dois vértices que não são visíveis na projecção frontal (os que pertencem às arestas laterais [AV] e [BV]). Os pontos de secção não têm notação, porque tal não era exigido.

 

SECÇÕES PRODUZIDAS EM PRISMAS (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SC7.

Representa, com um traçado não expressivo, mas adequado, um prisma pentagonal oblíquo com as bases horizontais situado no I Diedro e a figura de secção nele produzida por um plano secante, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados sobre o prisma:

- uma das bases é o pentágono regular [ABCDE], que tem o ponto M (0; 6; 2) como centro
- o ponto A tem 3,5 de abcissa e 6,5 de afastamento
- as arestas laterais são segmentos de recta frontais que fazem ângulos de 60º com os planos das bases (a.p.e.) e medem 7cm

Dados sobre o plano secante:

- é paralelo ao Plano Frontal de projecção, dele distando 7,5 cm.

Identifica a figura resultante da secção com tracejado paralelo ao eixo x, desenhando o seu contorno com traçado expressivo.
Desenha o prisma truncado pelo plano secante com um traçado expressivo, considerando apenas o tronco de prisma situado entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção.

(adaptado de um exercício de exame nacional de DGD-B)

 

 

D-SC8.

Representa no Sistema Diédrico, com um traçado adequado (mas não expressivo), um cubo com a face [ABCD] contida no Plano Horizontal de Projecção e a figura de secção nele produzida por um plano secante de rampa, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados sobre o cubo:

- o ponto A (4; 3; 0) é o vértice da face [ABCD], localizado mais à direita
- o ponto E, com 5 de cota, define, com o vértice A, uma das arestas verticais do sólido
- o vértice B, contíguo ao vértice A, pertence ao eixo x

Dados sobre o plano secante:

- Contém um ponto H, do P.H.P. com abcissa nula e 5cm de afastamento
- Faz um ângulo de 60º com o P.H.P.
- o traço frontal do plano tem cota positiva

a) Identifica a figura resultante da secção com tracejado paralelo ao eixo x, desenhando o seu contorno com traçado expressivo.

b) Desenha, com um traçado expressivo, as projecções do cubo depois de seccionado, considerando a parte do cubo situada entre o plano secante e o eixo x

(adaptado de um exercício de exame nacional de DGD-B)

 

D-SC9.

Determine as projecções da secção produzida pelo plano de topo beta num prisma hexagonal oblíquo de bases frontais.
Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pela secção, que contém a base situada mais à esquerda. Preencha a tracejado a projecção horizontal da secção, e identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis da parte do sólido que foi posta em destaque.

- as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical
- o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4)
- as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção
- os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base
- o plano beta contém o ponto de abcissa –3 do eixo x e faz um ângulo de 55°, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

Exame de 2007- 1ª fase (GD-A)

Observação:

Para não confundir o desenho, não foram atribuidas notações aos vértices das duas bases do prisma. O ponto de abcissa -3 referido no enunciado corresponde ao ponto X desta proposta de resolução do exercício

 

 

SECÇÕES PRODUZIDAS EM CONES (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SC10.

Determina as projecções de um cone recto, situado totalmente no espaço do primeiro Diedro e a figura de secção nele produzida no cone por um plano alfa, de acordo com os dados abaixo apresentados.


Dados sobre o cone:

- A base do cone pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O é o centro da base e tem abcissa nula
- O ponto A é um ponto da base do cone e tem 2 cm de cota
- [OA] é vertical, e tem 6 cm de comprimento
- O cone tem 10 cm de altura

Dados sobre o plano secante:

- é perpendicular ao plano Frontal de projecção, faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o P.H.P. e contém o ponto O.

Identifica o interior da figura de secção produzida no cone com um tracejado paralelo ao eixo x.

a) Desenha as projecções do cone depois de seccionado pelo plano (situado entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção) com um traçado expressivo.

b) Determina ainda a verdadeira grandeza da secção.

 

D-SC11.

Determina as projecções de um cone recto, situado totalmente no primeiro Diedro e a figura de secção nele produzida pelo plano alfa, vertical, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados sobre o cone:
- A base do cone pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O é o centro da base e tem abcissa nula
- O ponto A é um ponto da base do cone e tem 2 cm de cota
- [OA] é vertical, e tem 6 cm de comprimento
- O cone tem 10 cm de altura

Dados sobre o plano secante:

- faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o P.F.P. e contém o ponto W (11; 0; 0).

Identifica o interior da figura de secção produzida no cone com um tracejado paralelo ao eixo x.

a) Desenha as projecções do cone depois de seccionado pelo plano (situado entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção) com um traçado expressivo.

b) Determina ainda a verdadeira grandeza da secção.

 

D-SC12.

Determina as projecções de um cone recto, situado totalmente no espaço do primeiro Diedro e a figura de secção nele produzida no cone por um plano beta, de acordo com os dados abaixo apresentados.


Dados sobre o cone:

- A base do cone é paralela ao Plano Horizontal de Projecção
- O ponto O é o centro da base e tem abcissa nula
- O ponto A, com 12 cm de afastamento, é o ponto do cone mais afastado do Plano Frontal de Projecção
- [OA] é de topo e tem 5 cm de comprimento
- O vértice do cone dista 2 cm do Plano Horizontal de Projecção

Dados sobre o plano secante:

- é perpendicular aos dois Planos de Projecção e tem 3cm de abcissa.

Identifica o interior da figura de secção produzida no cone com um tracejado paralelo ao eixo x.

a) Desenha as projecções do cone depois de seccionado pelo plano (situado à direita do plano secante) com um traçado expressivo.

b) Determina ainda a verdadeira grandeza da secção.

 

 

SECÇÕES PRODUZIDAS EM CILINDROS (EM REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA)

 

D-SC13.

Represente um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência de uma das bases do sólido.

as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;

o ponto 0 (3; 1 ; 5) é o centro de uma das bases;

os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro.

(adaptado de um exercício de Exame Nacional de 2006 1ª Fase)

a) Determine a secção produzida no cilindro por um plano secante vertical, que contém o ponto B e que intersecta o eixo x num ponto com a mesma abcissa do ponto do cilindro situado à direita.

Veja no link seguinte uma resolução passo-a-passo deste exercício:

 

 

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